Дано, что при большом числе измерений 80% ошибок, распределенных нормально, не превосходят по абсолютной величине 1 мм. Требуется найти процент ошибок, не превосходящих по абсолютной величине 1,25 мм. Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые знания о нормальном распределении и его свойствах. Нормальное распределение (или распределение Гаусса) является одним из наиболее распространенных вероятностных распределений. Оно характеризуется симметричностью относительно среднего значения, и его график имеет форму колокола. Плотность вероятности нормального распределения определяется следующей формулой:  где x - значение случайной величины, µ - среднее значение величины, σ - стандартное отклонение. По данной задаче, 80% ошибок не превосходят по абсолютной величине 1 мм. Это означает, что мы находимся в левой или правой стороне этого значения. Нам нужно найти процент ошибок, не превосходящих по абсолютной величине 1,25 мм, то есть мы должны найти вероятность, что значение ошибки будет находиться в данном диапазоне. Для решения этой задачи мы можем использовать стандартное нормальное распределение, то есть нормальное распределение со средним значением µ = 0 и стандартным отклонением σ = 1. В стандартном нормальном распределении, вероятность P(x ≤ a) для значения случайной величины x, не превосходящего значения a, можно найти с помощью функции распределения Ф(x):  где f(t) - плотность вероятности стандартного нормального распределения. Мы знаем, что P(x ≤ 1) = 0.8, то есть 80% ошибок не превосходят по абсолютной величине 1 мм. Нам нужно найти P(x ≤ 1.25), то есть вероятность, что значение ошибки не превысит 1.25 мм. Однако, таблицы функции распределения нам не даны, поэтому нам нужно найти другой способ решения этой задачи. Воспользуемся свойствами нормального распределения. Нам дано, что 80% ошибок не превосходят по абсолютной величине 1 мм. Это означает, что значения ошибок находятся в интервале (-1 мм, 1 мм) включительно. Мы хотим найти процент ошибок, не превосходящих по абсолютной величине 1.25 мм. По аналогии, мы можем представить это условие в виде интервала (-1.25 мм, 1.25 мм) включительно. Теперь мы можем воспользоваться свойством нормального распределения о том, что 95% значений находятся в интервале (-2σ, 2σ) включительно. Это означает, что 2σ представляет собой разницу между значениями, ограничивающими 95% значений нормального распределения. Мы знаем, что -2σ ≤ -1.25 мм и 2σ ≥ 1.25 мм. Теперь нам нужно найти значение σ, которое удовлетворяет этому условию. Сначала найдем -2σ ≤ -1.25 мм: -2σ ≤ -1.25 σ ≥ 0.625 Теперь найдем 2σ ≥ 1.25 мм: 2σ ≥ 1.25 σ ≥ 0.625 Так как σ ≥ 0.625, значит примерно 95% ошибок имеют величину меньше, чем 2σ. Теперь, чтобы найти процент ошибок, не превосходящих по абсолютной величине 1.25 мм, нужно вычесть процент ошибок, не превосходящих по абсолютной величине 1 мм (80%), из 100%. 100% - 80% = 20% Таким образом, процент ошибок, не превосходящих по абсолютной величине 1.25 мм, составляет приблизительно 20%.