Для того чтобы найти косинус угла между векторами p⃗ и q⃗ , необходимо найти их скалярное произведение и разделить его на произведение модулей векторов.<br /> <p>Дано:<br /> Угол между векторами a⃗ и b⃗ равен π/6;<br /> Модуль вектора a⃗ равен 3;<br /> Модуль вектора b⃗ равен 1;</p> <p>Построим треугольник ABC, где вектор a⃗ задает сторону BC, а вектор b⃗ задает сторону AC.<br /> Угол A = π/6<br /> Модуль вектора a⃗ равен 3, а модуль вектора b⃗ равен 1 </p> <p><img src="https://ucarecdn.com/0e1e55fd-8cb0-4573-81e8-84db55973e34/" alt=""></p> <p>Для нахождения косинуса угла между векторами p⃗ и q⃗ нужно найти их скалярное произведение и разделить его на произведение модулей векторов:<br /> cos(p⃗ ˆq⃗ ) = (p⃗ , q⃗ )/(|p⃗ ||q⃗ |)</p> <p>Поскольку векторы p⃗ и q⃗ представляют собой сумму и разность векторов a⃗ и b⃗ соответственно, можно записать:<br /> p⃗ = a⃗ + b⃗<br /> q⃗ = a⃗ - b⃗</p> <p>Разложим векторы p⃗ и q⃗ по компонентам:<br /> p⃗ = (a₁+a₂+a₃+b₁+b₂+b₃)<br /> q⃗ = (a₁+a₂+a₃-b₁-b₂-b₃)</p> <p>где ai и bi - соответствующие компоненты векторов a⃗ и b⃗ .</p> <p>Теперь нам нужно найти скалярное произведение p⃗ и q⃗:<br /> (p⃗ , q⃗ ) = (a₁+a₂+a₃+b₁+b₂+b₃)·(a₁+a₂+a₃-b₁-b₂-b₃)</p> <p>Раскроем скобки и сократим все одинаковые компоненты:<br /> (p⃗ , q⃗ )= (a₁²+a₂²+a₃²+b₁²+b₂²+b₃²)-(b₁-b₂-b₃)²</p> <p>Так как угол между a⃗ и b⃗ равен π/6, a⃗ и b⃗ создают равнобедренный треугольник, стороны которого соответствуют компонентам a⃗ и b⃗ . Поэтому a₁²+a₂²+a₃² = 2*(b₁²+b₂²+b₃²).</p> <p>Подставим это в формулу:<br /> (p⃗ , q⃗ )= 2*(b₁²+b₂²+b₃²)-(b₁-b₂-b₃)²</p> <p>А модули векторов |p⃗ | и |q⃗ | равны:<br /> |p⃗ |=√(3²+1²)<br /> |q⃗ |=√(3²+1²)</p> <p>Теперь мы можем найти косинус угла между векторами p⃗ и q⃗ , разделив скалярное произведение на произведение модулей векторов:<br /> cos(p⃗ ˆq⃗ )= (p⃗ , q⃗ )/(|p⃗ ||q⃗ |)</p> <p>cos(p⃗ ˆq⃗ ) = (2*(b₁²+b₂²+b₃²)-(b₁-b₂-b₃)²)/(3*3*1*1)</p> <p>Таким образом, косинус угла между векторами p⃗ и q⃗ равен (2*(b₁²+b₂²+b₃²)-(b₁-b₂-b₃)²)/9.