Пусть сторона треугольника ABC равна a. Обозначим точку M - точку касания вписанной окружности треугольника ABC с стороной AB, точку N - точку касания окружности с стороной AC. Так как треугольник ABC равносторонний, AM = MB и AN = NC. Проведем прямые MD и NE. Поскольку опущенная из вершины треугольника AD является биссектрисой угла BAC, то отрезки AM и AE также являются биссектрисами углов B и C соответственно. Значит, AD является высотой треугольника ABC. Рассмотрим прямоугольные треугольники ADM и AEN. Треугольники ADM и AEN имеют общий катет AM и равны. Поэтому их другие катеты также равны: MD = NE. Обозначим их длину через x. Так как CD является высотой треугольника ADE, получаем уравнение прямой CD вида y = kx, где k - некоторый коэффициент. Используя формулу прямой и условие принадлежности точки D, получаем уравнение AE: 0 = kx - AM, или AM = kx. Используя теорему Пифагора, находим высоту треугольника ADE: AM = sqrt(AD^2 - MD^2), или kx = sqrt(a^2 - x^2). Решая это уравнение относительно x, получаем x = sqrt(a^2 / (1 + k^2)). Заметим, что из пропорции треугольников AME и ANE следует, что NE = a - x, поскольку стороны треугольника ABC равны. Так как AM = x и BM = AM, получаем, что МВ = (a - x). Теперь рассмотрим треугольник BCD. Пользуясь тем, что AM = MB и AD является высотой треугольника ABC, получаем, что MB^2 = BD * CD. Подставляя AM = x и BM = (a - x), получаем: x^2 = BD * CD. Мы знаем, что BD = 3, поэтому получаем уравнение: x^2 = 3 * CD. Поскольку мы уже выразили CD через x, можем подставить это выражение в уравнение: x^2 = 3 * (a - x). Решая это квадратное уравнение, получаем значение x. Теперь можем выразить a через x: a = x + (a - x). Подставляем полученное значение a в уравнение CD: CD = 2x / sqrt(3). Подставляем полученное значение a в уравнение AE: AE = (a - x) / sqrt(3). Теперь можем найти длину стороны треугольника ABC: AC = AE + CE = (a - x) / sqrt(3) + 2, AB = AD + BD = x + 3. Так как треугольник ABC - равносторонний, имеем уравнение AC = AB, то есть (a - x) / sqrt(3) + 2 = x + 3. Решая это уравнение относительно x, получаем значени x. Зная значение x, можем найти значение a, подставив найденное значение x в уравнение a = x + (a - x). Таким образом, мы найдем длину стороны треугольника ABC.