Для решения данной задачи мы можем воспользоваться геометрическим подходом.
Поскольку точки A и B уже заданы, мы можем считать их положение фиксированным. Точка C может быть выбрана на сфере любым образом. Для того чтобы угол ACB был острым, точка C должна находиться на той стороне сферы, которая отделена от плоскости AOB. Поэтому наша задача сводится к определению того, какая часть сферы лежит по одну сторону от плоскости AOB.
Поскольку плоскость AOB делит сферу на две симметричные части, нам нужно определить, в какой из этих частей будет находиться точка C, чтобы угол ACB был острым.
Мы можем использовать прямую AC как граничную линию между двумя частями сферы. Посмотрим на это с геометрической точки зрения. Обозначим середину дуги AB как точку M.
Осуществим поворот отрезка AC вокруг оси OM на угол 130° в положительном направлении. При этом точка A останется на месте, а точка C перейдет на новую позицию C'.
Теперь рассмотрим треугольник AOC и его повёрнутую версию AOC'. Заметим, что AC совпадает с AC', поскольку это отрезок, повернутый на 130° вокруг оси OM.
Также заметим, что острота угла ACB эквивалентна остроте угла AOB, поскольку углы AOB и C'OC (два дана содержат общую сторону и лежат на одной прямой) тупые либо острые одновременно.
Таким образом, вероятность того, что угол ACB будет острым, равна доле сферы, которая была перевернута вместе с отрезком AC в положительном направлении.
Рассмотрим более подробно эту перевернутую сферу. Она представляет собой сферический сегмент, образованный двумя дугами. Половина дуги AB и половина окружности с центром O и радиусом OM. Мы знаем, что угол AOB равен 130°, поэтому половина дуги AB составляет 65°.
Таким образом, чтобы определить вероятность опрокидывания сферы и, следовательно, получить острый угол ACB, нам нужно определить, какая часть сферы составляет сегмент с углом 65°.
Мы можем рассчитать объем этого сегмента с использованием формулы объема сферического сегмента:
V = (1/6) * π * h * (3R2 + h2)
где V - объем сегмента, h - высота сегмента, R - радиус сферы.
Для начала рассчитаем радиус сферы. У нас нет конкретных данных о радиусе, но мы знаем, что угол AOB равен 130°, и точки лежат на сфере с центром O. Поэтому мы можем считать R = 1 (диаметр сферы). Другими словами, мы можем считать сферу с радиусом 1.
Теперь рассмотрим высоту сегмента. Мы знаем, что половина дуги AB составляет 65°. Также мы можем заметить, что треугольник ABM является равносторонним, поскольку радиусы AO и OB равны, и угол AOB равен 130°. Следовательно, угол AMB также равен 65°. Половина этого угла равна 32.5°.
Теперь мы можем рассчитать высоту сегмента с помощью формулы:
h = R(1 - cos(θ/2))
где h - высота сегмента, R - радиус сферы, θ - угол сегмента (в радианах).
Подставляем значения:
h = 1(1 - cos(32.5°/2))
h ≈ 0.699
Теперь, используя формулу для объема сферического сегмента, мы можем рассчитать объем этого сегмента:
V = (1/6) * π * 0.699 * (3 * 1^2 + 0.699^2)
V ≈ 0.636
Теперь мы знаем, что объем сегмента составляет около 0.636.
Однако нам нужно определить долю сферы, которая была перевернута. Мы знаем, что объем полной сферы равен (4/3) * π * R^3, где R - радиус сферы. Мы предполагаем, что R = 1, так как мы считаем сферу с радиусом 1.
Подставляем значения:
Объем сферы = (4/3) * π * 1^3 = (4/3) * π
Теперь мы можем рассчитать долю сферы, которая была перевернута, как отношение объема сегмента к объему полной сферы:
вероятность = объем сегмента / объем сферы = 0.636 / ((4/3) * π) ≈ 0.161
Мы получили вероятность около 0.161. Ответ в процентах с точностью до 0.01:
вероятность = 0.161 * 100% ≈ 16.1%
