Для начала, рассмотрим сферу с центром O и радиусом R. Пусть A и B - две точки на этой сфере, такие что угол AOB равен 130 градусов. Искомая вероятность определяется отношением числа благоприятных исходов (когда угол ACB острый) к общему числу возможных исходов (любой выбор точки C на сфере). Общее число возможных исходов Для выбора точки C на сфере можно использовать два параметра: широту и долготу. Широта определяется углом между вектором OC и вектором, параллельным экватору. Долгота - это угол между вектором OC и вектором, параллельным некоторому меридиану. Для широты возможные значения находятся в пределах от -90 до 90 градусов, а для долготы - от 0 до 360 градусов. Таким образом, общее число возможных исходов будет определяться количеством возможных комбинаций широты и долготы точки C. Для широты имеем: 180 возможных значений (-90 до 90 градусов). Для долготы имеем: 360 возможных значений (0 до 360 градусов). Таким образом, общее число возможных исходов будет равно 180 * 360 = 64800. Благоприятные исходы Для того чтобы угол ACB был острым, точка C должна находиться между точками A и B на поверхности сферы. Другими словами, угол ACB должен быть меньше 90 градусов. Вернемся к нашим исходным точкам A и B. Угол AOB равен 130 градусам. Значит, взяв точку C между A и B, угол ACB будет 180 градусов - 130 градусов = 50 градусов. Таким образом, если точка C будет находиться в пределах полушария, определенного точками A и B, то угол ACB будет острым. Для определения полушария, определенного точками A и B, можно нарисовать вектор, проходящий через центр сферы O и перпендикулярный плоскости, проходящей через A и B. Затем, можно проверять положение точки C относительно этого вектора. Важно отметить, что в задаче сказано, что точка C выбирается случайно, и любой выбор равновозможен. То есть, вероятность выбора точки C внутри полушария будет равна вероятности ее выбора вне полушария. Рассмотрим положение точки C относительно вектора, проходящего через центр сферы O и перпендикулярный плоскости AB. Возможны следующие варианты: 1) Точка C находится вне полушария, образованного точками A и B - угол ACB не острый. 2) Точка C находится внутри полушария, образованного точками A и B - угол ACB острый. Поскольку вероятность выбора точки C в области вокруг полушария равна вероятности выбора точки C в области вне полушария, вероятность благоприятного исхода (точка C попадает внутрь полушария) равна вероятности противоположного исхода (точка C попадает вне полушария). Таким образом, достаточно рассмотреть только одну из двух областей. Рассмотрим полушарие, определенное точками A и B. Вектор AB можно представить в виде суммы векторов AO и OB. Угол AOB равен 130 градусов, поэтому угол между векторами AO и OB будет равен (180 - 130) / 2 = 25 градусов. Таким образом, угол между векторами AO и AC (вертикальной осью) будет равен 25 градусов. Чтобы угол ACB был острым, точка C должна находиться внутри конуса, образованного точками A, B и вершиной в O. Угол между стороной конуса (AB) и его высотой (OC) меньше 90 градусов. Найдем расстояние OC. Оно равно радиусу сферы, исходя из определения. Значит, OC = R. Используя косинусную теорему для треугольника AOC, можно найти длину стороны AO: cos 25 = (AO^2 + OC^2 - AC^2) / (2 * AO * OC) cos 25 = (AO^2 + R^2 - AC^2) / (2 * AO * R) 2 * AO * R * cos 25 = AO^2 + R^2 - AC^2 AO^2 + R^2 - AC^2 = 2 * AO * R * cos 25 AC^2 = AO^2 + R^2 - 2 * AO * R * cos 25 AC = sqrt(AO^2 + R^2 - 2 * AO * R * cos 25) Аналогично, для треугольника BOC: cos 25 = (BO^2 + OC^2 - BC^2) / (2 * BO * OC) cos 25 = (BO^2 + R^2 - BC^2) / (2 * BO * R) 2 * BO * R * cos 25 = BO^2 + R^2 - BC^2 BC^2 = BO^2 + R^2 - 2 * BO * R * cos 25 BC = sqrt(BO^2 + R^2 - 2 * BO * R * cos 25) Теперь мы можем сказать, что точка C должна находиться в области, определенной следующими неравенствами: 0 < AC < R 0 < BC < R Составим интегральное неравенство для определения положения точки C относительно полушария, образованного точками A и B. Поскольку выбор точки C на сфере равновероятен, вероятность выбора точки внутри полушария будет равна отношению площади этого полушария к площади сферы. 1) Найдем площадь полушария, определенного точками A и B, при помощи интеграла: S = ∫(∫(√(R^2-x^2-y^2) dxdy)), где пределы интегрирования по оси x - от -R до R, а по оси y - от 0 до √(R^2-x^2). 2) Площадь сферы равна 4πR^2. Тогда искомая вероятность будет равна: P = S / (4πR^2) * 100%. Таким образом, для решения задачи необходимо вычислить площадь полушария, определенного точками A и B, и затем найти искомую вероятность по формуле выше.