Теорема Брауэра утверждает, что любая непрерывная функция из сферы в себя имеет по крайней мере одну неподвижную точку. С другими словами, если мы нарисуем окружность на бумаге и отображение этой окружности в себя непрерывно, то найдется точка на окружности, которая останется на месте после такого отображения. Например, представьте себе турника, свободно висящего на верёвке в зале гимнастики. Если мы непрерывно крутим турник вокруг вертикальной оси, то найдется точка на турнике, которая никуда не переместится при этом вращении. Вот эта точка и будет неподвижной точкой для отображения. Другой пример можно увидеть на картине Эшера "Руки, рисующие друг друга". Несмотря на то, что на рисунке изображены две руки, каждая из которых рисуется другой рукой, мы можем найти точку на рисунке, которая описывает процесс этого "взаимного нарисования" вечно, как будто он никогда не начнется и не закончится. Теорема Брауэра также имеет практическое применение в математике и физике, например, в теории хаоса и дифференциальных уравнениях. Она помогает определить существование и поведение некоторых физических систем и процессов, а также является одним из основных результатов теории фиксированных точек, которая занимается исследованием неподвижных точек отображений в более общем виде.