Пусть длина большого прямоугольника равна L, а ширина - W. Тогда периметр большого прямоугольника равен: P = 2L + 2W = 176 см. Так как стороны большого прямоугольника состоят из красного прямоугольника и синего квадрата, то можно записать следующие уравнения: L = n * k + m * s, W = k + s. Где n - количество красных прямоугольников в длине большого прямоугольника, m - количество синих квадратов в длине большого прямоугольника, k - длина красного прямоугольника, s - сторона синего квадрата. Подставим эти значения в формулу периметра: 176 = 2(n * k + m * s) + 2(k + s). Раскроем скобки и упростим выражение: 176 = 2nk + 2ms + 2k + 2s. Делим обе части уравнения на 2: 88 = nk + ms + k + s. Переупорядочим слагаемые: nk + ms + k + s = 88. Так как все слагаемые в левой части уравнения являются целыми числами, а правая часть уравнения равна 88, то каждое слагаемое также должно быть целым числом. Теперь рассмотрим, какое условие обязано выполняться, чтобы сумма nk, ms, k и s была целым числом. Условием является равное деление значения s на n и m. Так как мы ищем площадь квадрата, то s - это длина его стороны. Таким образом, условием является равенство длины стороны синего квадрата k, а значит k = s. Возвращаясь к уравнению: nk + ms + k + s = 88, получаем: nk + mk + k + k = 88, (n + m + 3)k = 88. Для того чтобы (n + m + 3) было целым числом, необходимо, чтобы k делило 88. Факторизуем 88: 88 = 2 * 2 * 2 * 11. Очевидно, что чтобы сумма n + m + 3 была целым числом, k может быть равно одному из следующих чисел: 1, 2, 4, 8, 11, 22, 44, 88. Рассмотрим каждый из случаев: 1) Если k = 1, то n + m + 3 = 88. Очевидно, что при данных условиях сумма n и m будет равна 85, что невозможно, так как n и m - целые неотрицательные числа. 2) Если k = 2, то n + m + 3 = 44. Подставляем значения n + m + 3 = 44 и k = 2 в уравнение nk + mk + k + k = 88: 2n + 2m + 2 + 2 = 88, 2(n + m) + 4 = 88, 2(n + m) = 84, n + m = 42. Замечаем, что сумма n и m - это 42, что доступное значение, так как n и m - целые неотрицательные числа. Очевидно, что в данном случае все значения k, n и m являются четными числами, так как они равны 2. Таким образом, при k = 2 получаем, что n = m = 20. 3) Если k = 4, то n + m + 3 = 22. Аналогично предыдущему случаю, подставляем значения n + m + 3 = 22 и k = 4 в уравнение nk + mk + k + k = 88: 4n + 4m + 4 + 4 = 88, 4(n + m) + 8 = 88, 4(n + m) = 80, n + m = 20. Получаем, что условие выполняется только при n = m = 10. Аналогично как в предыдущем случае, все значения k, n и m являются четными числами. Таким образом, при k = 4 получаем, что n = m = 10. 4) Если k = 8, то n + m + 3 = 11. Подставляем значения n + m + 3 = 11 и k = 8 в уравнение nk + mk + k + k = 88: 8n + 8m + 8 + 8 = 88, 8(n + m) + 16 = 88, 8(n + m) = 72, n + m = 9. Видим, что сумма n и m - это 9, что доступное значение, так как n и m - целые неотрицательные числа. Очевидно, что в данном случае все значения k, n и m являются кратными числами 8. Таким образом, при k = 8 получаем, что n = m = 8. 5) Если k = 11, то n + m + 3 = 8. Аналогично предыдущим случаям, подставляем значения n + m + 3 = 8 и k = 11 в уравнение nk + mk + k + k = 88: 11n + 11m + 11 + 11 = 88, 11(n + m) + 22 = 88, 11(n + m) = 66, n + m = 6. Получаем, что сумма n и m - это 6, что доступное значение, так как n и m - целые неотрицательные числа. Очевидно, что в данном случае все значения k, n и m являются кратными числу 11. Таким образом, при k = 11 получаем, что n = 0 и m = 6. 6) Если k = 22, то n + m + 3 = 4. Подставляем значения n + m + 3 = 4 и k = 22 в уравнение nk + mk + k + k = 88: 22n + 22m + 22 + 22 = 88, 22(n + m) + 44 = 88, 22(n + m) = 44, n + m = 2. Видим, что сумма n и m - это 2, что доступное значение, так как n и m - целые неотрицательные числа. Очевидно, что в данном случае все значения k, n и m являются кратными числу 22. Таким образом, при k = 22 получаем, что n = 0 и m = 2. 7) Если k = 44, то n + m + 3 = 1. Аналогично предыдущим случаям, подставляем значения n + m + 3 = 1 и k = 44 в уравнение nk + mk + k + k = 88: 44n + 44m + 44 + 44 = 88, 44(n + m) + 88 = 88, 44(n + m) = 0, n + m = 0. Получаем, что сумма n и m - это 0, что доступное значение, так как n и m - целые неотрицательные числа. Очевидно, что в данном случае все значения k, n и m равны 0. 8) Если k = 88, то n + m + 3 = 0. Подставляем значения n + m + 3 = 0 и k = 88 в уравнение nk + mk + k + k = 88: 88n + 88m + 88 + 88 = 88, 88(n + m) + 176 = 88, 88(n + m) = -88, n + m = -1. Видим, что сумма n и m - это -1, что недоступное значение, так как n и m - целые неотрицательные числа. Таким образом, имеется только одно доступное значение для k - это k = 2. Подставляем это значение n + m + 3 = 44: 44 = 44, 2n + 2m + 4 = 88, 2n + 2m = 84, n + m = 42. Получаем, что сумма n и m - это 42. Таким образом, при k = 2 получается, что n = m = 20, и синий квадрат является частью большого прямоугольника, составленного из 20 красных прямоугольников, каждый длиной 2 см. Чтобы найти площадь синего квадрата, нужно найти значение стороны s. По условию задачи сторона синего квадрата равна длине одного красного прямоугольника, то есть s = k. Таким образом, площадь синего квадрата равна: S = s * s = k * k = 2 * 2 = 4 см². Итак, площадь синего квадрата составляет 4 квадратных сантиметра.