Пусть длина и ширина большого прямоугольника равны (a) и (b) соответственно. Тогда, согласно условию задачи, периметр большого прямоугольника равен 110: (2a + 2b = 110), откуда: (a + b = 55). Площадь большого прямоугольника равна: (S = a cdot b), а периметр большого прямоугольника можно представить в виде: (P = 2a + 2b). Заметим, что если представить площадь большого прямоугольника в виде суммы площадей фиолетовых прямоугольников и голубых квадратов, то получится: (S = m cdot a cdot h + n cdot x^2), где (m) и (n) — количество фиолетовых прямоугольников и голубых квадратов соответственно, а (h) и (x) — их высота и сторона соответственно. Так как фиолетовые прямоугольники и голубые квадраты имеют одинаковый цвет, то можно сказать, что (h = x). Тогда формула для площади примет вид: (S = m cdot a cdot x + n cdot x^2). Для решения задачи необходимо найти значение площади голубого квадрата (x). Выразим из первого уравнения системы (a = 55 - b), а затем подставим его в формулу для площади. Получим: (S = (55 - b) cdot b + n cdot x^2). Раскроем скобки: (S = 55b - b^2 + n cdot x^2). Учитывая, что площадь большого прямоугольника равна произведению его сторон: (S = a cdot b), получим: (a cdot b = 55b - b^2 + n cdot x^2), или: (55 - b + n cdot x^2 = 55b - b^2 + n cdot x^2). Упростив уравнение, получим: (55 = 55b - b^2). Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение в стандартной форме: (b^2 - 55b + 55 = 0). Данное уравнение можно решить с помощью квадратного трехчлена или формулы Виета, но давайте пойдем другим путем и рассмотрим дальнейшие шаги. Для дальнейших вычислений заметим, что приращение периметра равно разности площади большого прямоугольника и площади голубого квадрата: (P' = S - x^2). Из условия задачи мы знаем, что периметр (P) равен 110 см, а проведя замену для площади (S) получим: (110 = S - x^2), то есть: (110 = 55b - b^2 + n cdot x^2 - x^2). Упростив, получим: (110 = 55b - b^2 + (n - 1) cdot x^2). Используя уравнение (55 - b + n cdot x^2 = 55b - b^2 + n cdot x^2), выразим (b): (55 = 55b - b^2). Будем приближенно искать значение (b) в уравнении, поэтому проведем замену: (x = n' cdot x'), где (n') и (x') — найденные значения (n) и (x) соответственно. Теперь у нас есть два уравнения: (55 = 55b - b^2), (110 = 55b - b^2 + (n - 1) cdot x^2). Сначала рассмотрим первое уравнение. Представим (55) в виде разности (b^2 + 55 - b^2): (55 = b^2 + 55 - b^2 - b). Сгруппируем слагаемые: (55 = b(b + 55) - b^2). Учтем, что площади большого прямоугольника и голубого квадрата являются положительными величинами, то есть (b > 0), поэтому можем разделить обе части уравнения на (b): (frac{55}{b} = b + 55 - b). Упростим правую часть: (frac{55}{b} = 55). Рассмотрим второе уравнение. Подставим найденное значение (b = 1) в него: (110 = 55 - 1 + (n - 1) cdot x^2). Раскроем скобки и упростим уравнение: (110 = 54 + (n - 1) cdot x^2). Вычтем из обеих частей уравнения (54): (56 = (n - 1) cdot x^2). Разделим обе части уравнения на (2): (28 = (n - 1) cdot x^2). Теперь мы имеем два уравнения: (frac{55}{b} = 55), (28 = (n - 1) cdot x^2). Рассмотрим первое уравнение. Упростим: (1 = b). Подставим найденные значения (b = 1) и (x' = 1) во второе уравнение: (28 = (n - 1) cdot 1^2), откуда получим: (28 = n - 1). Добавим единицу к обеим частям уравнения: (29 = n). Теперь имеем три значения: (b = 1), (x' = 1), (n = 29). Подставим их в исходные уравнения и найдем значение (x): (55 = 55b - b^2), (110 = 55b - b^2 + (n - 1) cdot x^2). Подставляем: (55 = 55 - 1), (110 = 55 - 1 + (29 - 1) cdot x^2). Упростим уравнения: (0 = 0), (110 = 55 + 28 cdot x^2). Решим второе уравнение относительно (x^2): (110 - 55 = 28 cdot x^2), (x^2 = frac{55}{28}). Вычислим значение (x): (x = sqrt{frac{55}{28}}). Ответ: площадь голубого квадрата равна (left(sqrt{frac{55}{28}}right)^2) квадратных сантиметров.