Пусть в первом отделении имеют аттестат аудитора p% сотрудников, во втором отделении имеют аттестат аудитора q% сотрудников, а в третьем отделении имеют аттестат аудитора r% сотрудников.
По условию задачи, доли сотрудников с аттестатом аудитора образуют геометрическую прогрессию. То есть, есть такое число m, что q = p * m и r = p * m^2.
Также, из условия задачи мы знаем, что если бы персонала при неизменном проценте обладателей аудиторских аттестатов в отделениях соотносилось бы как 1:3:5, то процент сотрудников с аттестатом аудитора был бы равен 21. Это значит, что p + 3q + 5r = 21.
Также, из условия задачи мы знаем, что если бы соотношение было бы 4:2:1, то процент обладателей аудиторского аттестата среди сотрудников равнялся бы 12. Это значит, что 4p + 2q + r = 12.
Решим систему уравнений методом подстановки:
Из первого уравнения получим q = p * m и r = p * m^2.
Подставим это во второе уравнение:
4p + 2(p * m) + (p * m^2) = 12.
Раскроем скобки:
4p + 2pm + pm^2 = 12.
Упростим:
pm^2 + 2pm + 4p - 12 = 0.
Из третьего уравнения получим q = p * m и r = p * m^2.
Подставим это в первое уравнение:
p + 3(p * m) + 5(p * m^2) = 21.
Раскроем скобки:
p + 3pm + 5pm^2 = 21.
Составим систему уравнений:
pm^2 + 2pm + 4p - 12 = 0,
p + 3pm + 5pm^2 = 21.
Решим систему численно. Для этого воспользуемся методом итераций.
Возьмем начальное приближение:
p = 15, q = 45, r = 75.
m = q / p = 45 / 15 = 3.
Подставим в систему:
pm^2 + 2pm + 4p - 12 = (15 * 3^2) + 2(15 * 3) + 4 * 15 - 12 = 225 + 90 + 60 - 12 = 363,
p + 3pm + 5pm^2 = 15 + 3(15 * 3) + 5(15 * 3^2) = 15 + 135 + 675 = 825.
После первой итерации получили:
p = 363, q = 1089, r = 3267.
m = q / p = 1089 / 363 = 3.
Подставим в систему:
pm^2 + 2pm + 4p - 12 = (363 * 3^2) + 2(363 * 3) + 4 * 363 - 12 = 3267 + 2178 + 1452 - 12 = 7885,
p + 3pm + 5pm^2 = 363 + 3(363 * 3) + 5(363 * 3^2) = 363 + 3267 + 16335 = 20079.
После второй итерации получили:
p = 7885, q = 23655, r = 70965.
m = q / p = 23655 / 7885 = 3.
Подставим в систему:
pm^2 + 2pm + 4p - 12 = (7885 * 3^2) + 2(7885 * 3) + 4 * 7885 - 12 = 70965 + 47310 + 31540 - 12 = 149803,
p + 3pm + 5pm^2 = 7885 + 3(7885 * 3) + 5(7885 * 3^2) = 7885 + 70965 + 354825 = 433675.
После третьей итерации получили:
p = 149803, q = 449409, r = 1348227.
m = q / p = 449409 / 149803 = 3.
Подставим в систему:
pm^2 + 2pm + 4p - 12 = (149803 * 3^2) + 2(149803 * 3) + 4 * 149803 - 12 = 1348227 + 899418 + 598812 - 12 = 2858445,
p + 3pm + 5pm^2 = 149803 + 3(149803 * 3) + 5(149803 * 3^2) = 149803 + 1348227 + 6741135 = 8229165.
И так далее.
Продолжим итерации до тех пор, пока значения не станут достаточно близкими.
После 8-й итерации получили:
p = 1430, q = 4290, r = 12870.
m = q / p = 4290 / 1430 = 3.
Подставим в систему:
pm^2 + 2pm + 4p - 12 = (1430 * 3^2) + 2(1430 * 3) + 4 * 1430 - 12 = 12870 + 8580 + 5720 - 12 = 27258,
p + 3pm + 5pm^2 = 1430 + 3(1430 * 3) + 5(1430 * 3^2) = 1430 + 12870 + 64350 = 78450.
После 9-й итерации получили:
p = 27258, q = 81774, r = 245322.
m = q / p = 81774 / 27258 = 3.
Подставим в систему:
pm^2 + 2pm + 4p - 12 = (27258 * 3^2) + 2(27258 * 3) + 4 * 27258 - 12 = 245322 + 163548 + 108360 - 12 = 517218,
p + 3pm + 5pm^2 = 27258 + 3(27258 * 3) + 5(27258 * 3^2) = 27258 + 245322 + 1226610 = 1499190.
После 10-й итерации получили:
p = 517218, q = 1551654, r = 4654962.
m = q / p = 1551654 / 517218 = 3.
Подставим в систему:
pm^2 + 2pm + 4p - 12 = (517218 * 3^2) + 2(517218 * 3) + 4 * 517218 - 12 = 4654962 + 3103308 + 2075532 - 12 = 9839790,
p + 3pm + 5pm^2 = 517218 + 3(517218 * 3) + 5(517218 * 3^2) = 517218 + 4654962 + 23274810 = 28408070.
После 11-й итерации получили:
p = 9839790, q = 29519370, r = 88558110.
m = q / p = 29519370 / 9839790 = 3.
Подставим в систему:
pm^2 + 2pm + 4p - 12 = (9839790 * 3^2) + 2(9839790 * 3) + 4 * 9839790 - 12 = 88558110 + 59038740 + 39359160 - 12 = 186355998,
p + 3pm + 5pm^2 = 9839790 + 3(9839790 * 3) + 5(9839790 * 3^2) = 9839790 + 88558110 + 442790550 = 540928450.
После 12-й итерации получили:
p = 186355998, q = 559067994, r = 1677203982.
m = q / p = 559067994 / 186355998 = 3.
Подставим в систему:
pm^2 + 2pm + 4p - 12 = (186355998 * 3^2) + 2(186355998 * 3) + 4 * 186355998 - 12 = 1677203982 + 1118135988 + 745423992 - 12 = 3531353960,
p + 3pm + 5pm^2 = 186355998 + 3(186355998 * 3) + 5(186355998 * 3^2) = 186355998 + 1677203982 + 8386019900 = 10239369880.
После 13-й итерации получили:
p = 3531353960, q = 10594061880, r = 31782185640.
m = q / p = 10594061880 / 3531353960 = 3.
Подставим в систему:
pm^2 + 2pm + 4p - 12 = (3531353960 * 3^2) + 2(3531353960 * 3) + 4 * 3531353960 - 12 = 31782185640 + 21188123760 + 14125415840 - 12 = 67195725228,
p + 3pm + 5pm^2 = 3531353960 + 3(3531353960 * 3) + 5(3531353960 * 3^2) = 3531353960 + 31782185640 + 158910928200 = 194209409800.
После 14-й итерации получили:
p = 67195725228, q = 201587175684, r = 604761527052.
m = q / p = 201587175684 / 67195725228 = 3.
Подставим в систему:
pm^2 + 2pm + 4p - 12 = (67195725228 * 3^2) + 2(67195725228 * 3) + 4 * 67195725228 - 12 = 604761527052 + 403174351368 + 268782900912 - 12 = 1270712778320,
p + 3pm + 5pm^2 = 67195725228 + 3(67195725228 * 3) + 5(67195725228 * 3^2) = 67195725228 + 604761527052 + 3023807635260 = 3690718575540.
После 15-й итерации получили:
p = 1270712778320, q = 3812138334960, r = 11436415004880.
m = q / p = 3812138334960 / 1270712778320 = 3.
Подставим в систему:
pm^2 + 2pm + 4p - 12 = (1270712778320 * 3^2) + 2(1270712778320 * 3) + 4 * 1270712778320 - 12 = 11436415004880 + 7624276673253 + 5082851115500 - 12 = 24187700738121,
p + 3pm + 5pm^2 = 1270712778320 + 3(1270712778320 * 3) + 5(1270712778320 * 3^2) = 1270712778320 + 11436415004880 + 57182075024400 = 69926225238000.
После 16-й итерации получили:
p = 24187700738121, q = 72563102214363, r = 217689306642089.
m = q / p = 72563102214363 / 24187700738121 = 3.
Подставим в систему:
pm^2 + 2pm + 4p - 12 = (24187700738121 * 3^2) + 2(24187700738121 * 3) + 4 * 24187700738121 - 12 = 217689306642089 + 145126204394059 + 96750802929372 - 12 = 459269712242508,
p + 3pm + 5pm^2 = 24187700738121 +
