1. Задача: Разгон поезда на железнодорожной станции Решение: Допустим, что у нас есть поезд, который должен начать движение с нулевой скоростью и разогнаться до заданной скорости v. Мы хотим узнать, какое время потребуется для разгона поезда на определенное расстояние. Предположим, что начальная скорость поезда равна 0, а конечная скорость равна v. Мы также будем считать, что разгон поезда происходит равномерно на всем протяжении пути. Физический смысл производной состоит в том, что он представляет собой скорость изменения величины по отношению к другой величине. В данном случае, мы хотим найти время разгона, которое является производной расстояния поезда от времени. Пусть s(t) - функция, представляющая расстояние поезда от времени t. Тогда производная s'(t) будет представлять скорость изменения расстояния поезда относительно времени. Мы хотим найти t, когда скорость поезда достигнет конечной скорости v, поэтому у нас есть уравнение: s'(t) = v Теперь мы можем проинтегрировать обе части уравнения: ∫ s'(t) dt = ∫ v dt Результатом будет: s(t) = vt + C где C - постоянная интегрирования. Теперь нам нужно найти значение C. Мы знаем, что при t = 0, s(0) = 0, так как начальное расстояние равно 0. Подставим это значение в уравнение: 0 = 0 + C C = 0 Теперь мы можем записать окончательное уравнение для расстояния поезда от времени: s(t) = vt Используя это уравнение, мы можем найти время разгона поезда до заданной скорости v. 2. Задача: Определение максимальной скорости поезда Решение: Предположим, что у нас есть поезд, движущийся по железнодорожному пути без трения и сопротивления. Мы хотим определить максимальную скорость, которую поезд может достичь при заданной мощности двигателя. Физический смысл производной здесь заключается в том, что он представляет собой скорость изменения величины по отношению к другой величине. В данном случае, мы хотим найти скорость поезда, которая является производной времени от расстояния. Пусть v(t) - функция, представляющая скорость поезда от времени t. Тогда производная v'(t) будет представлять скорость изменения скорости поезда относительно времени. Мы знаем, что сила, действующая на поезд, определяется мощностью двигателя путем умножения крутящего момента мотора на скорость. Эта сила равна силе сопротивления и силе трения, которые являются постоянными. Таким образом, у нас есть уравнение: F = T - R - Fтр где F - сила, T - крутящий момент мотора, R - сила сопротивления, Fтр - сила трения. Мы можем представить это уравнение в виде: ma = T - R - Fтр где m - масса поезда, a - ускорение. Запишем второй закон Ньютона: a = dv/dt Теперь мы можем записать исходное уравнение в виде: m(dv/dt) = T - R - Fтр dv/dt = (T - R - Fтр)/m Заметим, что T - R - Fтр является постоянной величиной, поэтому мы можем записать ее как k: dv/dt = k/m Теперь мы можем интегрировать обе части уравнения: ∫ dv(t)/dt dt = ∫ k/m dt Результатом будет: v(t) = (kt + C)/m где C - постоянная интегрирования. Теперь нам нужно найти значение C. Мы знаем, что при t = 0, v(0) = 0, так как начальная скорость равна 0. Подставим это значение в уравнение: 0 = (0 + C)/m C = 0 Теперь мы можем записать окончательное уравнение для скорости поезда от времени: v(t) = kt/m Это уравнение позволяет нам определить максимальную скорость поезда при заданной мощности двигателя. 3. Задача: Определение расстояния торможения поезда Решение: Предположим, что у нас есть поезд, движущийся с постоянной скоростью v. Мы хотим определить расстояние, на котором поезд остановится после применения тормозов. Физический смысл производной здесь заключается в том, что он представляет собой скорость изменения величины по отношению к другой величине. В данном случае, мы хотим найти расстояние, которое является производной времени от скорости. Пусть s(t) - функция, представляющая расстояние поезда от времени t. Тогда производная s'(t) будет представлять скорость изменения расстояния поезда относительно времени. Мы знаем, что поезд движется с постоянной скоростью v, поэтому производная s'(t) будет равна нулю: s'(t) = 0 Теперь мы можем интегрировать обе части уравнения: ∫ s'(t) dt = ∫ 0 dt Результатом будет: s(t) = C где C - постоянная интегрирования. Таким образом, расстояние, на котором поезд остановится, будет постоянным и равным начальному расстоянию. 4. Задача: Определение времени достижения конечной скорости при торможении Решение: Предположим, что у нас есть поезд, движущийся с начальной скоростью v0. Мы хотим определить время, через которое поезд достигнет конечной скорости v1 после применения тормозов. Физический смысл производной здесь заключается в том, что он представляет собой скорость изменения величины по отношению к другой величине. В данном случае, мы хотим найти время, которое является производной скорости поезда относительно времени. Пусть v(t) - функция, представляющая скорость поезда от времени t. Тогда производная v'(t) будет представлять скорость изменения скорости поезда относительно времени. Мы знаем, что поезд движется с начальной скоростью v0 и замедляется до конечной скорости v1, поэтому у нас есть уравнение: v'(t) = -a где a - ускорение торможения. Теперь мы можем интегрировать обе части уравнения: ∫ v'(t) dt = ∫ -a dt Результатом будет: v(t) = -at + C где C - постоянная интегрирования. Теперь нам нужно найти значение C. Мы знаем, что при t = 0, v(0) = v0, так как начальная скорость равна v0. Подставим это значение в уравнение: v0 = 0 + C C = v0 Теперь мы можем записать окончательное уравнение для скорости поезда от времени: v(t) = -at + v0 Теперь мы можем найти время, через которое поезд достигнет конечной скорости. Поскольку конечная скорость равна v1, мы можем записать уравнение: v1 = -at + v0 Используя это уравнение, мы можем найти время, через которое поезд достигнет конечной скорости v1. 5. Задача: Определение времени остановки поезда после торможения Решение: Предположим, что у нас есть поезд, движущийся с начальной скоростью v0 и замедляющийся до нулевой скорости после применения тормозов. Мы хотим определить время, через которое поезд остановится. Физический смысл производной здесь заключается в том, что он представляет собой скорость изменения величины по отношению к другой величине. В данном случае, мы хотим найти время, которое является производной скорости поезда относительно времени. Пусть v(t) - функция, представляющая скорость поезда от времени t. Тогда производная v'(t) будет представлять скорость изменения скорости поезда относительно времени. Мы знаем, что поезд движется с начальной скоростью v0 и замедляется до нулевой скорости, поэтому у нас есть уравнение: v'(t) = -a где a - ускорение торможения. Теперь мы можем интегрировать обе части уравнения: ∫ v'(t) dt = ∫ -a dt Результатом будет: v(t) = -at + C где C - постоянная интегрирования. Теперь нам нужно найти значение C. Мы знаем, что при t = 0, v(0) = v0, так как начальная скорость равна v0. Подставим это значение в уравнение: v0 = 0 + C C = v0 Теперь мы можем записать окончательное уравнение для скорости поезда от времени: v(t) = -at + v0 Теперь мы можем найти время, через которое поезд остановится. Поскольку конечная скорость равна 0, мы можем записать уравнение: 0 = -at + v0 Используя это уравнение, мы можем найти время, через которое поезд остановится.