Дано: - Окружности w1 и w2 с центрами в точках O1 и O2, соответственно. - Точка N - точка касания окружностей w1 и w2. - Точка X - точка, в которой прямая NX касается окружностей w1 и w2. - Точки Y и Z - точки, в которых касательная NY касается окружности w1 и касательная NZ касается окружности w2. - Я должен найти отношение длин отрезков YZ и NX. Нам дано, что прямая NX является общей касательной к окружностям w1 и w2. Это означает, что углы YNX и ZNX прямые углы (так как касательная перпендикулярна радиусу окружности в точке касания). Угол YO1X является вписанным углом в окружности w1, а угол ZO2X - вписанным углом в окружность w2. Согласно свойству вписанных углов, углы YO1X и ZO2X равны половине угла YNZ. Нам нужно найти отношение длин отрезков YZ и NX. Обозначим длины этих отрезков через a и b соответственно. Из формулы для синуса угла в прямоугольном треугольнике: sin(YO1X) = YX / O1X sin(ZO2X) = ZX / O2X Используя радиусы окружностей w1 и w2 (обозначим их через r1 и r2), мы можем записать: a / (O1N - O1X) = r1 / O1X b / (O2N - O2X) = r2 / O2X Обозначим угол YNX через α. Поскольку YO1X и ZO2X равны α/2, мы имеем: sin(α/2) = a / r1 sin(α/2) = b / r2 Следовательно, a / r1 = b / r2 = sin(α/2). Также из углов YO1X и ZO2X мы знаем, что α/2 + α/2 = α. Складывая уравнения, мы получаем: a / r1 + b / r2 = sin(α/2) + sin(α/2) = sin(α). Для величины NX также можно записать: NX = O1X + O1N = O2X + O2N Теперь мы можем решить систему уравнений, используя известные значения и выразить a и b через NX: a / r1 + b / r2 = sin(α) a + b = NX Разделив первое уравнение на sin(α) и выразив одну переменную через другую, получим: a = (sin(α) * r1) / (r1 / r2 + sin(α)) b = (sin(α) * r2) / (r1 / r2 + sin(α)) Теперь мы можем найти отношение длин отрезков YZ и NX, подставив a и b в соответствующие уравнения: YZ / NX = (a + b) / NX = (a / NX + b / NX) = ((sin(α) * r1) / (NX * (r1 / r2 + sin(α))) + (sin(α) * r2) / (NX * (r1 / r2 + sin(α)))) = (sin(α) * (r1 + r2)) / (NX * (r1 / r2 + sin(α))) Таким образом, отношение длин отрезков YZ и NX равно (sin(α) * (r1 + r2)) / (NX * (r1 / r2 + sin(α))). Это и есть ответ на задачу.