Для решения данной задачи воспользуемся свойствами касательных, окружностей и треугольников. Обозначим центры окружностей w1 и w2 как O1 и O2 соответственно. Также обозначим точки пересечения прямой O1O2 с прямой NX как M и точки пересечения прямой O1O2 с прямой YZ как P. 1. Из условия задачи следует, что треугольник O1XO2 равнобедренный, так как угол YO1X = ZO2X = YNZ. Поэтому отрезок NX является биссектрисой угла O1XO2. 2. Так как NX — общая касательная к окружностям w1 и w2, то NM ⊥ NX и PM ⊥ NX. Рассмотрим треугольники NMZ и NYP: - Треугольник NMZ является прямоугольным, так как NM ⊥ NX и NZ ⊥ NX. - Треугольник NYP является прямоугольным, так как NY ⊥ NX и NP ⊥ NX. - Угол YNZ является общим для этих двух треугольников. Из этого следует, что треугольники NMZ и NYP являются подобными, так как у них равны два угла. Следовательно, отношение длин сторон этих треугольников равно отношению длин боковых сторон: YZ/NX = NZ/NM = NY/NP. 3. Обозначим радиусы окружностей w1 и w2 как r1 и r2 соответственно. Так как треугольники O1MX и O2MX являются прямоугольными, то выполняется следующее соотношение: OM^2 = O1M^2 + r1^2 = O2M^2 + r2^2. 4. Так как прямые O1M и O2M перпендикулярны соответственно прямым YZ и NX, то треугольник YZP подобен треугольнику O1MO2. Так как треугольники YZP и O1MO2 подобны, выполняется следующее соотношение: YZ/OM = YP/O1M = ZP/O2M. Заметим, что отрезок YP является биссектрисой угла YNZ, так как NY ⊥ NP и YZ ⊥ NP. Аналогично, отрезок ZP является биссектрисой угла YNZ, так как NZ ⊥ NP и YZ ⊥ NP. Поэтому отрезки YP и ZP равны. Таким образом, имеем следующие равенства: YZ/OM = ZP/O2M = YP/O1M. 5. Рассмотрим треугольники O1MXP и O2MXP: Треугольники O1MXP и O2MXP являются прямоугольными, так как O1M ⊥ O1X и O2M ⊥ O2X. Углы YO1X и ZO2X являются общими углами для этих треугольников. Из этого следует, что треугольники O1MXP и O2MXP являются подобными, так как у них равны два угла. Следовательно, отношение длин сторон этих треугольников равно отношению длин боковых сторон: OX/O1M = OX/O2M = PX/PX = 1. Таким образом, имеем следующее равенство: OM = OX. 6. Из условия задачи следует, что O1O2 представляет собой внешнюю касательную к окружности w1 и w2. Следовательно, отрезок O1O2 перпендикулярен к радиусам окружностей в точках их касания с O1 и O2. Так как O1M ⊥ O1X и O2M ⊥ O2X, то отрезок O1O2 параллелен отрезку O1X и O2X. 7. Из свойств секущей и касательной, следует, что O1P ⊥ O1X и O2P ⊥ O2X. Таким образом, треугольники O1O2P и O1O2M являются прямоугольными. 8. Из условия задачи следует, что сумма углов YO1X и ZO2X равна углу YNZ. Это означает, что угол YO1X + угол ZO2X равен 180° - углу YNZ. Углы YO1X и ZO2X являются смежными углами для треугольников O1O2M и O1O2P. Следовательно, угол YO1X + угол ZO2X равен сумме углов O1OM и O2OP: угол YO1X + угол ZO2X = угол O1OM + угол O2OP. Так как треугольники O1O2M и O1O2P являются прямоугольными, то их сумма углов равна 180°. Из этого следует, что угол YO1X + угол ZO2X = 180°. 9. Рассмотрим треугольник YPX: В треугольнике YPX угол YXP является внутренним углом, а угол YUX является построенным углом, так как треугольники O1O2M и O1O2P подобны. Следовательно, угол YXP равен половине разности углов YO1X и ZO2X: угол YXP = (угол YO1X - угол ZO2X)/2. Так как угол YO1X + угол ZO2X = 180°, то можно записать следующее равенство: угол YXP = (180° - угол YO1X - угол ZO2X)/2. 10. Рассмотрим прямоугольный треугольник O2MX: В треугольнике O2MX угол ZO2M является прямым углом, а угол ZO2X является внешним углом. Из свойств внешних углов треугольника следует, что внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с данным внешним углом. Таким образом, угол ZO2X равен сумме углов ZOX и ZO2M: угол ZO2X = угол ZOX + угол ZO2M. В треугольнике O2MX угол ZOX является прямым углом, а угол ZOM является внешним углом. Из свойств внешних углов треугольника следует, что внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с данным внешним углом. Таким образом, угол ZOM равен сумме углов ZO1M и O1OM: угол ZOM = угол ZO1M + угол O1OM. Треугольники O1O2M и O1O2P являются прямоугольными, поэтому угол O1OM равен 90°. Также из свойств прямоугольных треугольников следует, что сумма углов внутри прямоугольного треугольника равна 180°. Таким образом: угол ZO2X = угол ZOX + угол ZO2M = угол ZOX + угол ZO1M + 90°. 11. Рассмотрим треугольник YPX: В треугольнике YPX угол YPX является прямым углом, а угол YXP является внешним углом. Из свойств внешних углов треугольника следует, что внешний угол треугольника равен сумме внутренних углов, не смежных с данным внешним углом. Таким образом, угол YXP равен сумме углов YXO2 и O2XP: угол YXP = угол YXO2 + угол O2XP. Треугольники YXO2 и O2MX являются прямоугольными, поэтому угол YXO2 равен 90°. Также из свойств прямоугольных треугольников следует, что сумма углов внутри прямоугольного треугольника равна 180°. Таким образом: угол YXP = угол YXO2 + угол O2XP = 90° + угол O2XP. 12. Из рассмотренных равенств следует, что угол YXP = (угол YO1X - угол ZO2X)/2 = (180° - угол YO1X - угол ZO2X)/2 = (180° - 180° + угол YO1X + угол ZO2X)/2 = угол YO1X + угол ZO2X)/2 = (угол YO1X + угол ZO2X)/2. Таким образом, угол YXP = (угол YO1X + угол ZO2X)/2. Возвращаясь к треугольнику YPX, имеем следующее: угол YXP = (180° - угол YO1X - угол ZO2X)/2 (угол YO1X + угол ZO2X)/2 = (180° - угол YO1X - угол ZO2X)/2 угол YO1X + угол ZO2X = 180° - угол YO1X - угол ZO2X 2(угол YO1X + угол ZO2X) = 180° угол YO1X + угол ZO2X = 90°. 13. Из равенства углов YO1X и ZO2X следует, что треугольники O1XN и O2XN являются равнобедренными, так как у них равны углы YO1X и ZO2X. 14. В треугольнике O1XN отрезок O1N является медианой, а LN является высотой и делит O1X на две части в отношении 2:1 (см. свойства равнобедренного треугольника). Следовательно, отрезок NX также делится медианой O1X в отношении 2:1. Отрезок O1N можно представить как сумма отрезков O1X и NX: O1