Дано, что случайная величина X неотрицательна и не зависит от случайной величины Y, имеющей стандартное нормальное распределение. Также дано, что произведение X и Y имеет плотность (e^{-|x|})/2. Задача состоит в том, чтобы найти плотность распределения X. Для этого воспользуемся формулой для нахождения плотности функции одной случайной величины через плотность функции другой случайной величины. Если X и Y независимы и имеют плотности f(x) и g(y) соответственно, то плотность функции Z = X*Y определяется как: h(z) = ∫(−∞)^(+∞) f(z/y)g(y)|y| dy В данном случае у нас произведение X и Y имеет плотность (e^{-|x|})/2, значит, мы можем записать: h(z) = ∫(−∞)^(+∞) (e^{-|z/y|})/2 * (1/√(2π)) * e^(-y^2/2) * |y| dy Выносим некоторые постоянные множители за знак интеграла: h(z) = (1/√(2π)) * ∫(−∞)^(+∞) (e^{-|z/y|}) * e^(-y^2/2) * |y| dy Теперь произведем замену переменной, положив u = z/y. Тогда y = z/u и dy = -z/u^2 du. Подставляем в выражение для h(z): h(z) = (1/√(2π)) * ∫(−∞)^(+∞) (e^{-|u|}) * e^(-z^2/(2u^2)) * |-z/u^2| (-z/u^2) du h(z) = (1/√(2π)) * ∫(−∞)^(+∞) e^{-|u|} * e^(-z^2/(2u^2)) * |-z/u^2| * (-z/u^2) du h(z) = (1/√(2π)) * ∫(−∞)^(+∞) e^{-|u|} * e^(-z^2/(2u^2)) * z^2/u^4 du Теперь проведем несколько преобразований для упрощения этого выражения. 1. Заметим, что функция под знаком интеграла является четной по переменной u. Это значит, что можно преобразовать пределы интегрирования следующим образом: h(z) = (1/√(2π)) * ∫(0)^(+∞) e^{−u} * e^(-z^2/(2u^2)) * z^2/u^4 du 2. Найдем производную (e^(-z^2/(2u^2)) с помощью правила дифференцирования сложной функции. Пусть F(u) = e^(-z^2/(2u^2)), тогда F'(u) = -(z^2/u^2) * e^(-z^2/(2u^2)). Можно заметить, что это и есть вторая производная функции F(u) по переменной u, умноженная на -z^2/u^2. 3. Теперь можно произвести интегрирование по частям. Для этого применим формулу интегрирования по частям: ∫u^n dv = u^(n+1) * v/n+1 - ∫u^(n+1) * v'/n+1 du. В нашем случае u = u, du = du, v' = e^{−u}, а v = −e^{−u}. Тогда интеграл станет: ∫e^{−u} du = −e^{−u}. 4. Раскроем один из интегралов по частям: ∫(0)^(+∞) e^{−u} * e^(-z^2/(2u^2)) * z^2/u^4 du = [−e^{−u} * e^(-z^2/(2u^2)) * z^2/u^3]_(0)^(+∞) - ∫(0)^(+∞) [(−e^{−u}) * (1/u^3) * (-z^2/u^2)] du = [−e^{−u} * e^(-z^2/(2u^2)) * z^2/u^3]_(0)^(+∞) - ∫(0)^(+∞) e^{−u} * z^2/u^5 du = [−(−e^{−u}) * e^(-z^2/(2u^2)) * z^2/u^3]_(0)^(+∞) + ∫(0)^(+∞) e^{−u} * z^2/u^5 du = [e^{−u} * e^(-z^2/(2u^2)) * z^2/u^3]_(0)^(+∞) + ∫(0)^(+∞) e^{−u} * z^2/u^5 du. 5. Заметим, что значения функции e^{−u} * e^(-z^2/(2u^2)) * z^2/u^3 при u = 0 и u = +∞ равны 0. Также заметим, что получившийся интеграл можно представить в виде (1/2)∫(0)^(+∞) e^{−u} * z^2/u^5 du (вынесем константу 1/2 за знак интеграла). Тогда: ∫(0)^(+∞) e^{−u} * z^2/u^5 du = (1/2)∫(0)^(+∞) e^{−u} * z^2/u^5 du. Снова проведем замену переменной, положив t = u/z. Тогда u = tz и du = z dt. Подставляем в интеграл: (1/2)∫(0)^(+∞) e^{−u} * z^2/u^5 du = (1/2)∫(0)^(+∞) e^{−tz} * z^2/(z^3 * t^5) * z dt, = (1/2) * z^(2-3) * ∫(0)^(+∞) e^{−tz} * t^(-5) dt. 6. Внесем константу (1/2) и z^(-1) под знак интеграла: (1/2) * z^(2-3) * ∫(0)^(+∞) e^{−tz} * t^(-5) dt = (1/2z) * ∫(0)^(+∞) e^{−tz} * t^(-5) dt. Заметим, что теперь функция под знаком интеграла имеет вид гамма-функции Г(5), которая определена следующим образом: Г(n) = ∫(0)^(+∞) e^(-t) * t^(n-1) dt. Подставляем значение n = 5: (1/2z) * Г(5). 7. Заметим, что получившееся выражение (1/2z) * Г(5) является плотностью распределения при X = z. Таким образом, плотность распределения X при X = z равна (1/2z) * Г(5). Ответ: плотность распределения X равна (1/2z) * Г(5).