Согласно правилам русского языка, иностранные слова, на которые не установлено иное соглашение или рекомендация, вписываются со строчной или прописной буквы в зависимости от того, они приняты в русской письменности как общеупотребительные или нет. Слово "корейские" относится к прилагательным, образованным от названия географических объектов, и в этом смысле не является именем собственным. Поэтому в соответствии со статьёй 4 правил русской орфографии и пунктуации подобные слова пишутся со строчной буквой. Однако стоит отметить, что существует ряд исключений из этого правила, когда язык или национальность может писаться с большой буквы. Например, когда такой термин является компонентом названия официального наименования государства или организации, например "Корейская Народно-Демократическая Республика". Таким образом, если говорить о прилагательном "корейские", то оно пишется со строчной буквы. Однако, когда речь идет о Корее как государстве, то слово "корейский" может использоваться как часть официального названия в сочетаниях "Корейская Республика" или "Корейская Демократическая народная Республика". В этом случае прилагательное следует писать с большой буквы.