Для решения данной задачи, воспользуемся определением предела последовательности и свойствами пределов. 1) Перед тем, как проверять утверждения, вспомним определение предела последовательности. Последовательность x_n называется сходящейся к числу a, если для любого положительного числа ε существует номер N, начиная с которого все члены последовательности отличаются от числа а меньше, чем ε. Это записывается как: lim┬(n →∞) x_n = a 2) Теперь перейдем к проверке утверждений. 4) Утверждение номер 4. Если lim┬(n →∞) x_n =a, lim┬(n →∞) 〖z_n〗_ =a. и для всех n выполняется неравенство x_n≤y_n≤z_n, тогда: lim┬(n →∞) y_n=a. Для доказательства этого утверждения, воспользуемся определением предела последовательности. Имеем: lim┬(n →∞) x_n = a и lim┬(n →∞) 〖z_n〗_ = a. Это означает, что для любого положительного числа ε существуют номера N_1 и N_2, такие что для всех n ≥ N_1 выполняется |x_n - a| < ε и для всех n ≥ N_2 выполняется |z_n - a| < ε. Также, из условия неравенства выполняется x_n ≤ y_n ≤ z_n для всех n. Возьмем номер N = max{N_1, N_2}. Тогда для всех n ≥ N выполняются два неравенства: |x_n - a| < ε и |z_n - a| < ε. Теперь рассмотрим выражение для y_n: |y_n - a| = |(y_n - x_n) + (x_n - a) + (a - z_n)| Пользуясь неравенством треугольника, получаем: |y_n - a| ≤ |y_n - x_n| + |x_n - a| + |a - z_n| Так как для всех n выполняется x_n ≤ y_n ≤ z_n, получаем: |y_n - a| ≤ |z_n - a| + |x_n - a| + |a - z_n| Выражение справа от знака ≤ является суммой трех модулей, каждый из которых меньше ε (по условию сходимости x_n и z_n). Таким образом, получили неравенство: |y_n - a| ≤ 3ε Это значит, что для любого положительного числа ε существует номер N, начиная с которого все члены последовательности |y_n - a| отличаются от 0 меньше, чем 3ε. Из определения предела следует, что lim┬(n →∞) x = a. Таким образом, утверждение 4 верно. 5) Утверждение номер 5. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая последовательность. Пусть x_n — бесконечно малая последовательность (т.е. lim┬(n →∞) x_n = 0) и y_n — ограниченная последовательность. Из определения предела и свойств произведения ограниченной на бесконечно малую последовательности следует, что: lim┬(n →∞) (y_n * x_n) = 0 Таким образом, утверждение 5 является верным. Итак, из перечисленных утверждений, верными являются 4 и 5.