1). Верное утверждение. По определению, число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого положительного числа ε существует номер N такой, что для всех n > N выполняется неравенство |x_n-a| < ε. Это означает, что значения последовательности становятся сколь угодно близкими к числу а со временем. 2). Верное утверждение. Если последовательность {x_n} сходится к числу а, то все ее члены близки к числу а. Значит, существует такое число М, что для всех n выполняется неравенство |x_n| ≤ M. Таким образом, последовательность ограничена. 3). а) Верное утверждение. Если (lim┬(n →∞))┬⁡〖x_n=a〗 и (lim┬(n →∞))┬⁡〖y_n=b〗, то для любого положительного числа ε существуют номера N₁ и N₂ такие, что для всех n > N₁ выполняется неравенство |x_n-a| < ε/2 и для всех n > N₂ выполняется неравенство |y_n-b| < ε/2. Если мы возьмем N = max(N₁, N₂), то при всех n > N будет выполняться и неравенство |x_n-a| < ε/2, и неравенство |y_n-b| < ε/2. Тогда для всех n > N будет выполняться неравенство |(x_n ± y_n) - (a ± b)| = |(x_n-a) ± (y_n-b)| ≤ |x_n-a| + |y_n-b| < ε. То есть, пределом суммы (x_n ± y_n) будет a ± b. б) Верное утверждение. Аналогично предыдущему пункту, для всех n > N будет выполняться неравенство |(x_n × y_n) - (a × b)| = |(x_n-a) × (y_n-b)| ≤ |x_n-a| × |y_n-b| < ε. То есть, пределом произведения x_n × y_n будет a × b. в) Верное утверждение (при условии b ≠ 0). Аналогично предыдущим пунктам, для всех n > N будет выполняться неравенство |(x_n / y_n) - (a / b)| = |(x_n-a) / (y_n-b)| ≤ |x_n-a| / |y_n-b| < ε. То есть, пределом частного x_n / y_n будет a / b (при условии, что b ≠ 0).