Для ответа на данный вопрос нужно разобраться в понятии локального экстремума, а также в связи между знаками производной и изменениями функции. 1. Локальный экстремум: точка x_0 называется точкой локального минимума, если существует такая окрестность x_0, что для всех x в этой окрестности f(x) >= f(x_0). Точка x_0 называется точкой локального максимума, если существует такая окрестность x_0, что для всех x в этой окрестности f(x) <= f(x_0). 2. Знак производной: если в точке x_0 f^'(x) > 0, то функция y = f(x) возрастает в этой точке (график функции идет вверх), если в точке x_0 f^'(x) < 0, то функция y = f(x) убывает в этой точке (график функции идет вниз). Теперь разберем каждое утверждение по отдельности: 3. Утверждение: Пусть функция y = f(x) дифференцируема в некоторой δ-окрестности точки x_0. Тогда если при переходе через точку x_0, функция y = f^'(x) меняет знак с <<+>> на <<->>, то точка x_0 - точка локального максимума; если функция y = f^'(x) меняет знак с <<->> на <<+>>, то точка x_0 - точка локального минимума. Это утверждение является верным и основывается на теореме Ферма. Согласно этой теореме, если x_0 - точка локального экстремума для функции y = f(x), то f^'(x_0) = 0 или производная не существует. В данном утверждении речь идет о том, что производная меняет знак, что означает изменение направления движения графика функции. Если при переходе через точку x_0 производная меняет знак с <<+>> на <<->>, то это означает, что функция перестает возрастать и начинает убывать, что соответствует локальному максимуму. Аналогично, если производная меняет знак с <<->> на <<+>>, то это означает, что функция перестает убывать и начинает возрастать, что соответствует локальному минимуму. 4. Утверждение: В точке x_0 не существует локального экстремума, если при переходе через точку x_0, первая производная f^'(x) дифференцируемой в некоторой δ-окрестности точки x_0 функции y = f(x) не меняет знака. Это утверждение неверное. Если первая производная не меняет знака при переходе через точку x_0, это не исключает возможность существования локального экстремума в этой точке. В данной ситуации проводить какие-либо выводы о наличии или отсутствии локального экстремума невозможно. Например, если график функции представляет собой параболу в вершиной в точке x_0, то значени производной будет постоянным и равным нулю, но это не исключает наличие локального минимума или максимума в этой точке. Итак, из предложенных утверждений верным является только утверждение 3), а именно, что если при переходе через точку x_0 производная меняет знак с <<+>> на <<->>, то точка x_0 - точка локального максимума, и если производная меняет знак с <<->> на <<+>>, то точка x_0 - точка локального минимума.