Оба утверждения являются верными. 1) По теореме Больцано-Коши, если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b), то существует точка с ∈ (a, b), в которой производная функции равна нулю, то есть f'(c) = 0. В данном случае утверждается, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b], дифференцируема на (a, b) и f(a) = f(b). Из этого следует, что на концах отрезка значения функции совпадают, а значит, существует точка с внутри отрезка, где производная равна нулю. 2) Для доказательства второго утверждения воспользуемся средним значением производной. По формуле среднего значения производной, существует точка с ∈ (a, b), такая, что разность f(b) - f(a) равна произведению (b - a) и значения производной в точке с, то есть: f(b) - f(a) = f'(c) * (b - a). Из условия следует, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на (a, b), а значит, формула среднего значения производной применима. Таким образом, существует точка с ∈ (a, b), для которой справедливо уравнение из второго утверждения. Итак, оба утверждения верны.