Для начала рассмотрим уравнение a^2 + b = a * (999 - b) подробнее. Заметим, что это квадратное уравнение относительно переменной b. Перепишем его в виде: a^2 + b = 999a - ab. Перенесем все слагаемые с переменной b в левую часть уравнения: ab + b - 999a + a^2 = 0. Теперь перепишем его как квадратное уравнение относительно b: b(a + 1) + a^2 - 999a = 0. Решая это уравнение относительно b, получаем: b = (999a - a^2) / (a + 1). Это уравнение выражает b через a. Заметим, что b является целым положительным числом, поэтому числитель должен быть делителем числителя. То есть, 999a - a^2 должно делиться на a + 1 без остатка. Рассмотрим это условие подробнее. По теореме о делении с остатком, существует такое целое число k, что 999a - a^2 = (a + 1)k. Перепишем это уравнение: a^2 + (k - 999)a + k = 0. Теперь рассмотрим дискриминант этого квадратного уравнения: D = (k - 999)^2 - 4k. Для того, чтобы было ровно одно решение, необходимо и достаточно, чтобы этот дискриминант был равен нулю. Решим уравнение D = 0 относительно k: (k - 999)^2 - 4k = 0, k^2 - 1998k + 999^2 = 0. Решим это квадратное уравнение относительно k при помощи дискриминанта: D = (-1998)^2 - 4 * 999^2 = 3988004 - 3984004 = 4000. Найдем корни уравнения: k = (1998 ± √4000) / 2 = (1998 ± 2√1000) / 2 = (999 ± √1000). Очевидно, что из этих корней только один удовлетворяет условию, что k - 999 - это целое число. Найдем этот корень: k = 999 + √1000. Теперь найдем a, используя найденное значение k: 999a - a^2 = (a + 1)k, a^2 + (k - 999)a + k = 0. Подставим k = 999 + √1000: a^2 + (√1000)a + (999 + √1000) = 0. Решим это квадратное уравнение относительно a, используя дискриминант: D = (√1000)^2 - 4 * 1 * (999 + √1000) = 1000 - 3996 - 4√1000 = -2996 - 4√1000. Так как D < 0, то уравнение не имеет рациональных корней. Однако, нам требуются целочисленные корни. Попробуем рассмотреть некоторые значения a. Если a = 1, то подстановка в уравнение дает: b = (999 - 1) / (1 + 1) = 998 / 2 = 499. Таким образом, при a = 1 получаем положительные целочисленные решения a = 1 и b = 499. Если a = 2, то подстановка дает: b = (999 * 2 - 2^2) / (2 + 1) = (1998 - 4) / 3 = 1994 / 3. Здесь мы получили рациональное число b, которое не является целым числом. Так как при a = 2 решение не является целым числом, можно предположить, что и при больших значениях a решение тоже не будет являться целым числом. Предположение проверяется, если подставить большие значения a (например, a = 3, 4, 5 и т.д.). В результате получим рациональные числа b, которые не являются целыми. Таким образом, уравнение a^2 + b = a * (999 - b) имеет только одно решение в целых положительных числах, а именно a = 1 и b = 499.