Чтобы решить данную задачу, можно использовать метод генерации функций. Воспользуемся следующей логикой: представим каждый ящик в виде степени переменной `x`, где показатель степени будет числом шариков в соответствующем ящике. Затем перемножим все такие переменные, чтобы учесть все возможные комбинации. Представление каждого ящика в виде степени `x` будет выглядить следующим образом: 1. Первый ящик: `x + x^2 + x^3 + ... + x^N`, где `N` - максимальное количество шариков в ящике (в данной задаче `N = 78`, так как у нас 78 шариков). 2. Второй ящик: `x + x^2 + x^3 + ... + x^N`. 3. Третий ящик: `x + x^2 + x^3 + ... + x^N`. 4. И так далее, вплоть до `K`-го ящика, где `K` это количество ящиков. Теперь, чтобы учесть условие задачи о том, что ни в каких двух ящиках не должно быть одинакового количества шариков, достаточно перемножить все представления ящиков, а затем выкинуть слагаемые с повторяющимися мономами. Таким образом, для решения задачи нужно вычислить произведение следующих выражений: `(x + x^2 + x^3 + ... + x^N)(x + x^2 + x^3 + ... + x^N)(x + x^2 + x^3 + ... + x^N)...`, где количество этих выражений равно количеству ящиков. Давайте вычислим это произведение. Для удобства будем сразу искать несколько первых коэффициентов этой функции, так как в самой задаче не указано, за сколько ящиков отвечает число "78". Но давайте для начала рассмотрим случай для одного ящика. Если у нас всего один ящик, то решение будет выглядеть так: `(x + x^2 + x^3 + ... + x^N)`. Этот многочлен представляет числовую последовательность, где коэффициент перед мономом `x^k` равен количеству способов положить `k` шариков в ящик и это может быть представлено как: - 1 способ положить 0 шариков в ящик, - 1 способ положить 1 шарик в ящик, - 1 способ положить 2 шарика в ящик, - и так далее до `N` способов положить `N-1` шариков в ящик, - на последнем слагаемом будет `N` способов положить `N` шариков в ящик. Таким образом, коэффициент перед мономом `x^k` будет равен `k+1`, для `k` от 0 до `N`. Теперь давайте рассмотрим случай с двумя ящиками. Для удобства и понимания, возьмем количество шариков в каждом ящике равным 3 (то есть `N = 3`). Выражение для решения в этом случае будет `(x + x^2 + x^3)(x + x^2 + x^3)`, которое раскрывается в следующее:

x^2 + 2x^3 + 3x^4 + 2x^5 + x^6

Коэффициенты при мономах `x^k` в данном случае представляют количество способов, при которых сумма степеней `k` можно получить двумя разными способами. - 1 способ, где каждый ящик пуст: `0+0=0` - 1 способ, где первый ящик пустой, а второй содержит все 3 шарика: `0+3=3` - 2 способа, где в первом ящике по одному шарику, а во втором по два шарика: `1+2=3` - 2 способа, где в первом ящике по два шарика, а во втором по одному шарику: `2+1=3` - 1 способ, где первый ящик содержит все 3 шарика, а второй пустой: `3+0=3` Таким образом, коэффициенты при мономах `x^k` равны: - 0 способов, когда сумма степеней равна 0, - 3 способа, когда сумма степеней равна 3, - 3 способа, когда сумма степеней равна 4, - 3 способа, когда сумма степеней равна 5, - 3 способа, когда сумма степеней равна 6. Теперь давайте перейдем к общему случаю с произвольным количеством ящиков и произвольным количеством шариков в каждом ящике. Представим наше исходное выражение, умноженное на себя `k` раз, как:

(x + x^2 + x^3 + ... + x^N)(x + x^2 + x^3 + ... + x^N)...(x + x^2 + x^3 + ... + x^N)

Здесь каждое выражение `(x + x^2 + x^3 + ... + x^N)` представляет многочлен с коэффициентами `k+1`. Перемножим все такие выражения:

(x + x^2 + x^3 + ... + x^N)^k

Используя формулу бинома Ньютона, мы можем разложить это выражение:

(x + x^2 + x^3 + ... + x^N)^k = C(k,0)x^0 + C(k,1)x^1 + C(k,2)x^2 + ... + C(k,k)x^k

Здесь `C(k,0)`, `C(k,1)`, ..., `C(k,k)` представляют биномиальные коэффициенты, которые можно вычислить по следующей формуле:

C(k,n) = k! / (n!(k-n)!)

Таким образом, мы получили выражение для решения задачи с произвольным количеством ящиков и произвольным количеством шариков в каждом ящике. Ответ на вопрос задачи будет равен коэффициенту перед мономом `x^k`, который будет находиться при `(x + x^2 + x^3 + ... + x^N)^k`. Коэффициент перед мономом `x^k` равен `C(k,k)`, и это число сочетаний с повторениями из `N` по `k`. Его можно вычислить по формуле:

C(k,k) = (k + N - 1)! / (k!(N-1)!)

Для задачи дано `N = 78`, поэтому мы можем вычислить число сочетаний со повторениями из `K` по `N` для произвольного значения `K`. Обозначим результат как `A(K)`. Таким образом, мы можем сказать, что существует `A(K)` способов разложить 78 одинаковых шариков по `K` ящикам таким образом, чтобы ни в каких двух ящиках не было одинакового количества шариков. Ответ на задачу - это сумма по всем возможным значениям `K` от 1 до `N` результатов `A(K)`. То есть ответ будет равен `A(1) + A(2) + ... + A(N)`. Теперь можно приступить к вычислению ответа. Для числа сочетаний со повторениями из `K` по `N` можно использовать формулу:

A(K) = (K + N - 1)! / (K!(N-1)!)

Таким образом, можно вычислить результат отдельно для каждого значения `K` и затем сложить все эти результаты.

python

N = 78

total_ways = 0



for K in range(1, N+1):

    ways = math.factorial(K + N - 1) // (math.factorial(K) * math.factorial(N-1))

    total_ways += ways

Полученная переменная `total_ways` будет содержать количество способов разложить 78 одинаковых шариков по ящикам так, чтобы ни в каких двух ящиках не было одинакового количества шариков. Окончательный ответ на задачу будет равен `total_ways`.