Для решения этой задачи будем использовать комбинаторику и принципы симметрии. Представим себе заданный клетчатый квадрат 8×8. Наша задача - вырезать из него шестиугольник с границами по сторонам клеток. Возьмем первый шестиугольник и разделим его на две половины (верхнюю и нижнюю). Рассмотрим верхнюю половину шестиугольника. Эта половина должна содержать три клетки по вертикали и восемь клеток в самом шестиугольнике. Поскольку единственный способ выбрать три клетки из восьми - это 8-сочетаний из 3 (C(8,3) = 56), то существует 56 способов выбрать верхнюю половину шестиугольника. Теперь у нас есть несколько вариантов, что происходит с верхней и нижней половинами шестиугольника. - Мы можем просто повернуть совпадающие шестиугольники (верхний и нижний) на 180 градусов. В этом случае у нас нет новых вариантов, так как они совпадают друг с другом. - Мы можем отражать (зеркально) верхнюю часть по горизонтали. В этом случае у нас также нет новых вариантов, так как отраженная верхняя половина будет совпадать с нижней. - Мы можем отражать (зеркально) верхнюю часть по диагонали. В этом случае также нет новых вариантов, так как отраженная верхняя половина будет совпадать с нижней половиной. Итак, мы можем получить дополнительные варианты, если повернем верхнюю часть шестиугольника на 120 или 240 градусов. В этих случаях отражение по диагонали приведет к новым вариантам шестиугольника. Поскольку фактически все способы поворота и отражений дадут нам один и тот же результат, мы можем сократить количество способов. Итак, 56 способов выбрать верхнюю половину шестиугольника, домножим на 3 (число вариантов поворота верхней части) и получим 168. Теперь обратимся к второй половине шестиугольника. Эта половина должна содержать пять клеток. Так как вся верхняя часть шестиугольника уже определена, нам нужно выбрать пять клеток из 8-ми клеток оставшейся части (8-мсочетание из 5-ти, C(8,5) = 56). Теперь рассмотрим разные варианты поворота и отражения нижней части. - Если мы повернем нижнюю часть шестиугольника на 180 градусов, то не получим новых вариантов, так как нижняя половина будет совпадать с верхней. - Если мы отразим нижнюю часть по горизонтали, мы также не получим новых вариантов, так как отраженная нижняя половина будет идентична верхней. - Если мы отразим нижнюю часть по диагонали, мы также не получим новых вариантов, так как отраженная нижняя половина будет идентична верхней. Таким образом, у нас остается только ситуация с поворотом на 120 или 240 градусов. В каждом из этих случаев отражение по диагонали даст нам новые варианты шестиугольника. Поскольку все эти варианты также эквивалентны друг другу, мы можем сократить количество способов в 2 раза. Итак, 56 способов выбрать нижнюю половину шестиугольника, домножим на 2 и получим 112. Наконец, мы можем перемножить количество способов выбрать верхнюю и нижнюю половину шестиугольника: 168 * 112 = 18816. Таким образом, из данного клетчатого квадрата 8×8 можно вырезать шестиугольник с границами по сторонам клеток 18816 способами.