Необходимо решить задачу: На Планете Сириус в городе Сирианске проходит очень важный математический экзамен. Ученикам предстоит решить сложные задачи по алгебре, геометрии и математическому анализу. Один из вопросов экзамена звучит следующим образом: Группа учеников Сирианской школы решила составить базу знаний для будущих выпускников. Они решили создать набор ответов на экзаменационные вопросы по математике. Каждый ученик выбрал одну задачу из каждой из следующих областей: алгебра, геометрия и математический анализ. Известно, что в группе учеников 9 алгебраистов, 7 геометров и 5 математических аналитиков. a) Сколько существует различных вариантов составить базу знаний, если сперва выбрать 3 ученика, а затем выбрать для каждого из них одну задачу? Для решения этой задачи воспользуемся правилом произведения. По данному правилу, если есть n способов сделать первое действие и m способов сделать второе действие, то общее количество способов сделать оба действия будет равно произведению числа способов первого действия на число способов второго действия. В данной задаче для выбора трех учеников из группы, состоящей из 9 алгебраистов, 7 геометров и 5 математических аналитиков, мы можем воспользоваться комбинаторной формулой для подсчета сочетаний без повторений: C(n, k) = n! / (k!(n-k)!) где n - общее количество элементов для выбора (в данном случае, 21), k - количество элементов, которые нужно выбрать (в данном случае, 3), и "!" обозначает факториал. Применяя данную формулу, получаем: C(21, 3) = 21! / (3!(21-3)!) = 21! / (3!18!) = (21*20*19) / (3*2*1) = 1330. Таким образом, существует 1330 различных вариантов выбрать 3 учеников из группы. Далее, для каждого из выбранных трех учеников нужно выбрать по одной задаче из каждой из трех областей - алгебра, геометрия и математический анализ. Известно, что для каждой области задач выбора только одна. То есть, для каждого ученика задачи выбора сводятся к выбору только одной задачи. Таким образом, общее количество различных вариантов для выбора задач для трех учеников будет равно произведению количества задач в каждой области: 1 * 1 * 1 = 1. Следовательно, общее количество различных вариантов составить базу знаний для будущих выпускников составляет 1330 * 1 = 1330. Итак, ответ на задачу a) равен 1330. b) Предположим, что группа решила изменить правила составления базы знаний и решила сделать ее более разнообразной, включив несколько дополнительных задач для каждой из областей - алгебра, геометрия и математический анализ. Предположим, что для каждой области задач выбора две. Сколько теперь существует различных вариантов составить базу знаний? Для решения этой задачи мы можем использовать тот же подход, что и в задаче a), применив правило произведения. Теперь для каждой области задач выбора две. Это означает, что для каждого из выбранных трех учеников можно выбрать по две задачи из каждой из трех областей. Таким образом, общее количество различных вариантов для выбора задач для трех учеников будет равно произведению количества задач в каждой области: 2 * 2 * 2 = 8. Следовательно, общее количество различных вариантов составить базу знаний для будущих выпускников составляет 1330 * 8 = 10640. Итак, ответ на задачу b) равен 10640. Комментарий: В данной задаче нет уточнений о том, можно ли одну и ту же задачу выбирать для разных учеников. Мы предположили, что каждый ученик должен выбирать свою уникальную задачу. Если бы уточнение было дано, то количество возможных вариантов могло бы измениться.