Метод "шаг младенца, шаг гиганта" (англ. "baby step, giant step") - это алгоритм, позволяющий найти решение уравнений вида a^x mod p = b, где a, x, p и b являются целыми положительными числами, p - простое число, а гипотеза Диффи-Хеллмана не выполняется. Он был предложен Полом Поллардом в 1978 году и может быть использован в криптографии при работе с системами шифрования на основе дискретного логарифмирования.
Для решения данного уравнения, сначала необходимо рассмотреть все возможные значения х при данном модуле p. В нашем случае p=29, и поэтому х может принимать значения от 0 до 28. Затем необходимо вычислить все возможные значения выражения 2^x mod 29 для данных значений х. Используя деление по модулю, мы можем привести к приемлемому виду эти вычисления.
2^0 mod 29 = 1
2^1 mod 29 = 2
2^2 mod 29 = 4
2^3 mod 29 = 8
2^4 mod 29 = 16
2^5 mod 29 = 3
2^6 mod 29 = 6
2^7 mod 29 = 12
2^8 mod 29 = 24
2^9 mod 29 = 17
2^10 mod 29 = 5
2^11 mod 29 = 10
2^12 mod 29 = 20
2^13 mod 29 = 9
2^14 mod 29 = 18
2^15 mod 29 = 7
2^16 mod 29 = 14
2^17 mod 29 = 28
2^18 mod 29 = 27
2^19 mod 29 = 25
2^20 mod 29 = 21
2^21 mod 29 = 13
2^22 mod 29 = 26
2^23 mod 29 = 23
2^24 mod 29 = 19
2^25 mod 29 = 11
2^26 mod 29 = 22
2^27 mod 29 = 15
2^28 mod 29 = 1
Затем мы используем два множества - множество "младенцев", который будет содержать пары чисел (i, 2^i mod 29), где i находится в интервале от 0 до k-1, и множество "гигантов", которое будет содержать пары чисел (j, 21·(2^-jmod 29)), где j находится в интервале от 0 до k-1, и затем находим "совпадение".
Начнем с определения размера k, который является главным показателем эффективности метода. Чем меньше k, тем быстрее алгоритм сходится к решению, но тем больше требуется памяти. Поэтому сочетание наименьшего значения k и наименьшего используемого объема памяти может дать лучший результат.
Чтобы определить k, мы используем следующую формулу: k = ceil(sqrt(p-1)), где ceil - это оператор округления до ближайшего большего целого числа. В нашем случае k = ceil(sqrt(28)) = ceil(5.2915) = 6.
Затем мы формируем множество младенцев:
{(0, 1), (1, 2), (2, 4), (3, 8), (4, 16), (5, 3)}
И множество гигантов:
{(0, 21), (1, 5), (2, 9), (3, 25), (4, 17), (5, 10)}
Как видно, пары чисел в каждом множестве уже упорядочены по возрастанию. Его можно логически продолжить, если понадобится, с формированием множеств, содержащих 2k, 3k, и так далее элементов. Однако, для решения данного уравнения оказывается достаточным два множества, сформированных до k элементов.
Затем мы проверяем на совпадение пар, добавляя к числу значения j, соответствующие элементам множеств гигантов, но вычитая из него значения i, соответствующие множествам младенцев, в порядке убывания. Если найдено равенство, то мы можем найти нужное решение.
Например, рассмотрим пару (2, 9) из множества "гигантов". Для определения совпадения мы должны вычислить значение 2^6 mod 29 = 6, а затем найти значение, которое соответствует выражению 21·(2^-2 mod 29) mod 29 = 4. Так как 6 = 2 + 4, то решением уравнения a^x mod p = b является x = 6.
Таким образом, решение уравнения 2^x mod 29 = 21 с использованием метода "шаг младенца, шаг гиганта" равняется x=6.
