Метод "шаг младенца, шаг гиганта" – это алгоритм, используемый для решения уравнения a^x = b mod m, где a, b и m - положительные целые числа. Суть метода заключается в том, чтобы разложить задачу на несколько более мелких подзадач, находя их решения при помощи заранее определенной функции и сохраняя полученную информацию в таблице. Затем найденные решения объединяются и сравниваются с исходным уравнением.
Для решения задачи 2^xmod 29 = 21 с помощью метода "шаг младенца, шаг гиганта" следует выполнить следующие шаги:
1. Находим значение блока B. В этом случае, m = 29. Минимальное значение n, для которого 2^n > 29, равно 5. Значит, блок B будет иметь размер 5. То есть B = 2^5 = 32.
2. Вычисляем значения функции f(x) = a^x mod m для каждого i от 0 до B-1. В этом случае, a = 2 и m = 29. Таким образом, получаем следующие значения:
f(0) = 1 mod 29,
f(1) = 2^1 mod 29 = 2,
f(2) = 2^2 mod 29 = 4,
f(3) = 2^3 mod 29 = 8,
f(4) = 2^4 mod 29 = 16.
3. Создаем таблицу, в которой сохраняем значения f(x) и соответствующее им значение x. В этом случае, таблица будет иметь следующий вид:
| f(x) | x |
|------|---|
| 1 | 0 |
| 2 | 1 |
| 4 | 2 |
| 8 | 3 |
| 16 | 4 |
4. Вычисляем значение функции g(y) = a^(-By)mod m для каждого y от 0 до ceil(sqrt(m/B))-1. В этом случае, B = 2^5 = 32. Получаем:
g(0) = 2^(-5*0) mod 29 = 1,
g(1) = 2^(-5*1) mod 29 = 30 mod 29 = 1,
g(2) = 2^(-5*2) mod 29 = 841 mod 29 = 25,
g(3) = 2^(-5*3) mod 29 = 25^2 mod 29 = 16.
5. Для каждого y от 0 до ceil(sqrt(m/B))-1 вычисляем значение h(x) = b * (g(y))^x mod m и ищем соответствующее ему значение f(x). То есть решаем уравнение b * (g(y))^x mod m = f(i) и находим x. Если решение не найдено, переходим к следующему y. В этом случае, b = 21. Получаем следующие значения h(x):
y = 0: h(0) = 21 * 1^0 mod 29 = 21, h(1) = 21 * 1^1 mod 29 = 21, h(2) = 21 * 25^2 mod 29 = 5, h(3) = 21 * 16^3 mod 29 = 9.
6. Найдем значениие X путем объединения найденных решений. То есть, мы ищем значение x, которое удовлетворяет уравнению x = By + i. В этом случае, мы нашли два решения: x = 2 и x = 23 (были получены на шагах 5 и 6 соответственно).
7. Проверяем найденные значения, подставляя их в изначальное уравнение 2^xmod 29 = 21. Мы нашли два решения: x= 2 и x = 23, которые удовлетворяют исходному уравнению, так как 2^2mod 29 = 4 и 2^23mod 29 = 21.
Таким образом, решениями уравнения 2^xmod 29 = 21 являются x = 2 и x = 23. Решение было найдено при помощи метода "шаг младенца, шаг гиганта", который позволяет решать уравнения вида a^x = b mod m быстро и эффективно, используя заранее определенную функцию и сохраняя полученную информацию в таблице.
