Пусть x - начальная цена товара в рублях. Тогда после первого повышения цена товара стала (x + 5% * x) = x(1 + 5/100) = 1.05x. После второго повышения цена товара стала (1.05x + 5% * 1.05x) = 1.05x(1 + 5/100) = 1.1025x. Если цена товара уменьшалась, то возможны следующие варианты: - цена товара после уменьшения стала (1.1025x - 419). - цена товара после уменьшения стала (1.05x - 419). Так как ценник всегда записывался целым числом рублей, то первый вариант не подходит, так как (1.1025x - 419) не является целым числом при любом начальном значении x. Таким образом, получаем, что цена товара после уменьшения стала (1.05x - 419). Тогда у нас есть система уравнений: 1) 1.1025x = 1.05x - 419 2) x ≤ 10000 Решим эту систему уравнений: 1.1025x - 1.05x = -419 0.0525x = -419 x = -419 / 0.0525 = -8000 Но так как цена товара должна быть положительной и не превышать 10000 рублей, то получаем, что начальная цена товара x = 8000 рублей. Так как цена товара после уменьшения стала (1.05x - 419), подставим x = 8000 и найдем цену товара после уменьшения: 1.05 * 8000 - 419 = 8000 - 419 = 7581 Таким образом, цена товара в начале года была 8000 рублей. Теперь найдем, сколько раз повышалась цена товара: Общая скидка равна 419 рублям, значит цена товара уменьшилась на эту сумму. То есть, каждое повышение цены товара на 5% должно все это компенсировать. Каждое повышение цены на 5% повышает цену приблизительно на 400 рублей (5% от 8000), что меньше 419 рублей. Значит, цена продукта повышалась на 1 раз. Итак, ответ: - Цена товара повышалась 1 раз. - Цена товара в начале года была 8000 рублей.