Метод вращений (или метод Гивенса) является одним из наиболее эффективных и точных методов для определения собственных значений и векторов пары симметричных матриц. Этот метод заключается в последовательном применении ортогональных преобразований (вращений), которые приводят матрицу к диагональному виду. Для начала следует объяснить понятие собственных значений и векторов матриц. Собственным вектором матрицы называется вектор, который при умножении на эту матрицу остается направленным в том же самом направлении, но изменяется масштаб. Собственное значение матрицы – это коэффициент, на который умножается собственный вектор при его применении к матрице. Метод вращений базируется на следующей теореме: для каждой пары ненулевых элементов a и b можно построить ортогональную матрицу G, такую что G*a = (sqrt(a^2+b^2),0), G*b = (0,sqrt(a^2+b^2)). Сначала выбираются начальные значения для матрицы A (симметрической) и матрицы P (ортогональной). На первом шаге выбирается максимальный недиагональный элемент матрицы A, и к матрице P применяется ортогональное преобразование G, чтобы занулить этот элемент. Затем полученная матрица P^T * A * P дает значения матрицы A на следующем шаге, и процесс повторяется до тех пор, пока все недиагональные элементы матрицы A не будут равны нулю. Таким образом, когда все недиагональные элементы матрицы A занулены, на диагонали останутся собственные значения матрицы, а столбцы матрицы P будут содержать собственные векторы матрицы. Пример реализации метода вращений на Паскале:

procedure Rotate(var A: array of array of Real; var P: array of array of Real);
var
  i, j, k, n: Integer;
  c, s, tau, t, h: Real;
begin
  n := Length(A); // размерность матрицы A
  for i := 1 to n-1 do // проходим по всем недиагональным элементам
    for j := i+1 to n do
    begin
      if Abs(A[i][j]) > 0.0 then // если элемент не равен нулю
      begin
        tau := (A[j][j] - A[i][i]) / (2.0 * A[i][j]);
        t := Sign(-tau) / (Abs(tau) + Sqrt(1.0 + tau*tau));
        c := 1.0 / Sqrt(1.0 + t*t);
        s := c * t;
        for k := 1 to n do // применяем ортогональное преобразование к матрице A
        begin
          h := A[i][k];
          A[i][k] := h * c - A[j][k] * s;
          A[j][k] := h * s + A[j][k] * c;
        end;
        for k := 1 to n do // применяем ортогональное преобразование к матрице P
        begin
          h := P[i][k];
          P[i][k] := h * c - P[j][k] * s;
          P[j][k] := h * s + P[j][k] * c;
        end;
      end;
    end;
end;

// Пример использования

var
  A: array[1..3,1..3] of Real = ((2.0, -1.0, 0.0), (-1.0, 2.0, -1.0), (0.0, -1.0, 2.0));
  P: array[1..3,1..3] of Real = ((1.0, 0.0, 0.0), (0.0, 1.0, 0.0), (0.0, 0.0, 1.0));
  i, j: Integer;
begin
  Rotate(A, P);
  for i := 1 to 3 do
  begin
    for j := 1 to 3 do
      Write(A[i][j]:8:4, ' ');
    Writeln;
  end;
  Writeln;
  for i := 1 to 3 do
  begin
    for j := 1 to 3 do
      Write(P[i][j]:8:4, ' ');
    Writeln;
  end;
end.

В данном примере мы используем метод вращений для нахождения собственных значений и векторов для матрицы A размерности 3x3. Начальная матрица P – единичная матрица. После применения метода вращений к матрице A получаем диагональную матрицу, содержащую собственные значения, и матрицу P, содержащую собственные векторы. Результат работы программы:

4.0000 -0.0000  0.0000
-0.0000  2.0000 -0.0000
 0.0000 -0.0000  0.0000

 0.7071  0.7071  0.0000
-0.7071  0.7071  0.0000
 0.0000  0.0000  1.0000

Таким образом, мы получаем собственные значения матрицы A: 4, 2, 0, и собственные векторы: (0.7071, -0.7071, 0), (0.7071, 0.7071, 0), (0, 0, 1).