Метод вращений – это итерационный алгоритм нахождения собственных значений и векторов симметричных матриц. Он основывается на преобразовании матрицы путём вращения системы координат, что позволяет последовательно приближаться к диагональной форме. В программировании метод вращений реализуется на языке Паскаль следующим образом. Пусть дана симметричная матрица A порядка n.Также задаётся точность вычисления – погрешность e. 1. Задаются начальные значения матрицы Q и вектора x. Q описывает систему координат, по которой ведётся вращение. x описывает начальное приближение собственного вектора. 2. Вычисляется матрица B = transpose(Q) * A * Q. 3. Вычисляются элементы матрицы B, удовлетворяющие условию |B[i][j]| < e (достигнута требуемая точность). 4. Если таких элементов нет, то находим максимальный элемент матрицы B (|B[i][j]| = max) и вращаем систему координат (матрицу Q) так, чтобы он стал на диагонали матрицы. То есть находим угол φ = 0.5 * arctan2(2 * b[i][j], b[i][i] - b[j][j]) и строим матрицу P = [cos(φ) sin(φ);-sin(φ) cos(φ)], т.е. матрицу поворота на угол φ относительно координатной оси х. Далее вычисляем матрицу Q new = Q * P и повторяем шаг 2. 5. Если достигнута требуемая точность, то значения на диагонали матрицы B и соответствующие столбцы матрицы Q описывают собственные значения и соответствующие собственные векторы матрицы A. Пример: Для матрицы A = [3 2; 2 6] и точности e = 0,01 реализуем метод вращений на Паскале. Начальное приближение для собственных векторов можно взять единичную матрицу:

const
  N = 2;
  e = 0.01;
var
  A, Q, P: array[1..N, 1..N] of real;
  x, y: array[1..N] of real;
  max: real;
  i, j, k: integer;
function equals(A, B: real): boolean;
begin
  equals := abs(A - B) < e;
end;
function dot(a, b: array of real): real;
var
  i: integer;
begin
  dot := 0;
  for i := 0 to high(a) do
    dot := dot + a[i] * b[i];
end;
procedure print_matrix(A: array of array of real);
var
  i, j: integer;
begin
  for i := 0 to high(A) do begin
    for j := 0 to high(A[i]) do
      write(A[i][j]:6:2, ' ');
    writeln;
  end;
  writeln;
end;
begin
  A[1][1] := 3; A[1][2] := 2;
  A[2][1] := 2; A[2][2] := 6;
  for i := 1 to N do begin
    x[i] := 1;
    Q[i][i] := 1;
  end;
  repeat
    max := 0;
    for i := 1 to N do
      for j := i+1 to N do
        if abs(A[i][j]) > max then begin
          max := abs(A[i][j]);
          k := i; 
          l := j;
        end;
    if max > e then begin
      // вычисление угла поворота
      if equals(A[k][k], A[l][l]) then 
        phi := pi / 4
      else
        phi := 0.5 * arctan2(2*A[k][l], A[k][k] - A[l][l]);
      // построение матрицы поворота
      P[k][k] := cos(phi); P[k][l] := sin(phi);
      P[l][k] := -sin(phi); P[l][l] := cos(phi);
      // вращение системы координат
      Q copy (I);
      Q[k][k] := P[k][k]; Q[k][l] := P[k][l];
      Q[l][k] := P[l][k]; Q[l][l] := P[l][l];
      Q new copy (Q * P);
      // вычисление новой матрицы B
      B copy (transpose(Q new) * A * Q new);
      // проверка достижения точности
      if equals(B[k][l], 0) then begin
        A[k][l] := 0; A[l][k] := 0;
      end
      else begin
        A[k][l] := B[k][l]; A[l][k] := B[l][k];
        A[k][k] := B[k][k]; A[l][l] := B[l][l];
      end;
    end;
  until max < e;
  // вывод результатов
  writeln('eigenvalues:');
  for i := 0 to high(A) do
    writeln(A[i][i]:6:2);
  writeln('eigenvectors:');
  for i := 0 to high(Q) do begin
    for j := 0 to high(Q[i]) do
      write(Q new[j][i]:6:2, ' ');
    writeln;
  end;
end.

Вывод: Реализовать метод вращений для нахождения собственных значений и векторов пары симметричных матриц можно на языке Паскаль следуя приведённому выше алгоритму. Найденные собственные значения и соответствующие собственные векторы могут быть использованы в различных задачах, связанных с линейной алгеброй и матричными вычислениями.