Метод Зейделя – это классический итерационный метод, используемый для решения систем линейных уравнений (СЛУ) с матрицами, которые удовлетворяют некоторым условиям. Он относится к классу методов, основанных на разложении матрицы системы в верхнюю и нижнюю треугольные матрицы и сохраняющих эту структуру на всех итерациях. В этом случае, на каждой итерации метода используются результаты предыдущих итераций, т. е. решения для некоторых уравнений изначально определены.
Метод Зейделя является одним из самых эффективных методов решения систем линейных уравнений. Он позволяет получить достаточно точное решение, благодаря чему широко применяется в научных и практических задачах, например, в решении задач математического моделирования, в технических науках и т. д.
Реализация метода Зейделя на паскале может быть выполнена следующим образом:
1. Исходные данные: система уравнений, заданная матрицей A и вектором-столбцом b. Пусть система уравнений состоит из n уравнений и имеет вид A*x = b.
2. Из матрицы A выделяются диагональные, верхнетреугольная и нижнетреугольная матрицы D, U и L соответственно, т. е. A = L + D + U.
3. После этого, решается так называемая "рекуррентная" формула метода Зейделя:
x[i,k] = (b[i] - (L[i,j]*x[j,k+1]) - (U[i,j]*x[j,k])) / D[i,i],
где x[i,k] - k-тое приближенное решение i-го уравнения,
b[i] - i-й элемент вектора-столбца b,
j изменяется от 1 до n, кроме j = i.
Также необходимо определить начальное приближение x[1,0], x[2,0], ..., x[n,0], обычно используются начальные значения равные нулю.
4. Проводится итерация метода Зейделя, при которой последовательно вычисляются все значения x[i,k], пока не будет достигнута заданная точность метода. Точность определяется по максимальному значению разности между старым и новым значением x[i,k].
5. Полученное приближенное решение записывается в вектор-столбец X[n,k], где k – номер текущей итерации метода Зейделя.
Например, реализация метода Зейделя в виде процедуры может выглядеть следующим образом:
procedure solve_system_seidel(A: array of array of Real; b: array of Real; eps: Real);
var
n: Integer;
D: array of Real;
U: array of array of Real;
L: array of array of Real;
x: array of array of Real;
i,j,k: Integer;
delta,maxdelta: Real;
newx: Real;
begin
n := Length(A);
SetLength(D,n);
SetLength(U,n,n);
SetLength(L,n,n);
SetLength(x,n,n);
for i := 0 to n-1 do
begin
D[i] := A[i,i];
for j := 0 to n-1 do
begin
if j = i then continue;
if j > i then U[i,j] := A[i,j]
else L[i,j] := A[i,j];
end;
x[i,0] := 0;
end;
k := 0;
repeat
maxdelta := -1;
for i := 0 to n-1 do
begin
newx := b[i];
for j := 0 to n-1 do
begin
if j = i then continue;
if j > i then newx := newx - U[i,j]*x[j,k+1]
else newx := newx - L[i,j]*x[j,k];
end;
newx := newx / D[i];
delta := Abs(newx - x[i,k]);
if delta > maxdelta then maxdelta := delta;
x[i,k+1] := newx;
end;
k := k+1;
until maxdelta < eps;
end;
Пример использования процедуры:
var
A: array[0..2,0..2] of Real = ((5,-2,3),(-3,9,1),(2,-1,-7));
b: array[0..2] of Real = (1,2,3);
eps: Real = 0.001;
begin
writeln('Solution of system Ax=b:');
solve_system_seidel(A,b,eps);
writeln('Solution vector:');
for i := 0 to n-1 do writeln(x[i,k]);
end.
Описанный выше алгоритм реализует метод Зейделя для решения системы линейных уравнений на паскале, позволяя получить приближенное решение с заданной точностью метода. Работая с большими и сложными системами уравнений, метод Зейделя может существенно ускорить процесс решения задач.
