Для определения собственных значений и векторов симметричной матрицы можно использовать метод итераций. Этот метод основан на итеративном улучшении вектора приближения, который соответствует наиболее большему по модулю собственному значению.
Предполагается, что имеется симметричная матрица A. Итерационный процесс начинается с выбора произвольного начального вектора x0. После этого вектор xk+1 получается путем разложения вектора xk по базису, состоящему из собственных векторов матрицы A:
xk+1 = ∑(aij * vk)
Здесь vk – собственный вектор матрицы A, aij – коэффициенты, которые находятся из условия нормировки вектора xk+1:
||xk+1|| = 1
Из этого условия следует, что квадрат длины вектора xk+1 равен единице:
(xk+1, xk+1) = 1
Следующий шаг итерационного процесса заключается в вычислении собственного значения соответствующего вектора xk+1:
λk+1 = (Axk+1, xk+1) = (xk+1, A xk+1)
Можно заметить, что λk+1 является приближением к максимальному по модулю собственному значению матрицы A.
Для уточнения решения необходимо нормализовать вектор xk+1:
xk+1 = xk+1 / ||xk+1||
Далее процесс повторяется с использованием вектора xk+1 в качестве начального.
Количество итераций определяется точностью результата. Обычно в качестве стоп-критерия используется условие:
|λk+1 - λk| < ε
Здесь ε – заранее заданная точность вычислений.
Реализация метода итераций на языке Паскаль может выглядеть следующим образом:
procedure IterationMethod(A: matrix; var lambda: real; var x: vector);
var
i, j, k, n: integer;
lambda_prev, epsilon, norm: real;
x_prev, Ax: vector;
begin
n := length(A);
// Выбор произвольного начального вектора
x := RandVector(n);
// Установка начальных значений
lambda_prev := 0;
epsilon := 1E-6;
// Повторение итераций до достижения заданной точности
repeat
norm := 0;
// Уточнение решения
for i := 1 to n do
begin
Ax[i] := 0;
for j := 1 to n do
begin
Ax[i] := Ax[i] + A[i, j] * x[j];
end;
end;
// Вычисление собственного значения
lambda := DotProduct(x, Ax);
// Нормализация вектора
for i := 1 to n do
begin
x[i] := x[i] / sqrt(DotProduct(x, x));
norm := norm + abs(x[i] - x_prev[i]);
end;
lambda_prev := lambda;
x_prev := CopyVector(x);
until (norm < epsilon);
end;
Здесь RandVector(n) – функция, которая генерирует произвольный вектор длины n с элементами из диапазона [-1, 1]. CopyVector(x) – функция, которая копирует вектор x.
Пример использования метода итераций для вычисления собственных значений и векторов матрицы A:
var
A: matrix;
lambda: real;
x: vector;
begin
// Инициализация матрицы A
A := InitMatrix(3, 3, [1, 2, 3, 2, 4, 5, 3, 5, 6]);
// Вычисление собственных значений и векторов
IterationMethod(A, lambda, x);
// Вывод результатов
writeln('Собственное значение: ', lambda);
writeln('Собственный вектор:');
PrintVector(x);
end;
Здесь InitMatrix(m, n, v) – функция, которая создает матрицу размера m x n и заполняет ее значениями из вектора v. PrintVector(x) – процедура, которая выводит вектор x на экран.
Таким образом, метод итераций позволяет эффективно вычислять собственные значения и векторы симметричной матрицы. Он широко используется в линейной алгебре и математической физике для решения различных задач.
