Метод Зейделя является одним из наиболее эффективных и точных методов для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он основывается на итерационном подходе и позволяет быстро и достоверно находить решение системы уравнений. Рассмотрим код на языке Паскаль для метода Зейделя. Для начала, определим общую формулу метода:  где x(k) — вектор, содержащий приближенное решение системы на k-ой итерации, А — матрица коэффициентов, b — вектор правой части системы, L и U — нижняя и верхняя треугольные матрицы, соответствующие разложению матрицы А на L + D + U, а n — число уравнений в системе. Код метода Зейделя на Паскале будет выглядеть следующим образом:

procedure Gauss_Seidel(A: TMatrix; b: TVector; const eps: extended; var x: TVector);
var
  n: integer;
  i, j: integer;
  xi: extended;
  norm, error: extended;
  L, U, d: TMatrix;
begin
  n:=length(b);
  x:=b;
  norm:=1;
  while (norm>eps) do
    begin
      norm:=0;
      for i:=0 to n-1 do
        begin
          xi:=0;
          for j:=0 to i-1 do
            xi:=xi+L[i,j]*x[j];
          for j:=i+1 to n-1 do
            xi:=xi+U[i,j]*x[j];
          xi:=(b[i]-xi)/d[i,i];
          error:=abs(xi-x[i]);
          if (error>norm) then norm:=error;
          x[i]:=xi;
        end;
    end;
end;

Данный код реализует метод Зейделя для СЛАУ с матрицей коэффициентов A, вектором правой части b, точностью eps и вектором приближенного решения x. В первую очередь, определяется размер системы n и заполняется вектор x начальными приближениями, которые могут быть выбраны произвольно. Затем запускается цикл while, который будет выполнять итерации метода до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность eps. Внутри цикла выполняется проход по всем уравнениям системы (цикл for i), на каждой итерации которого вычисляется новое значение i-го элемента вектора x. Для этого используется формула метода Зейделя: значения известных элементов x используются для вычисления нового значения i-го элемента как разность с правой частью i-го уравнения, деленной на диагональный элемент i-й строки матрицы A. Затем сравнивается норма разности текущего и предыдущего значений i-го элемента с общей нормой разности всех элементов, чтобы определить, насколько близко приближенное решение стало к точному. Важной частью алгоритма является разложение матрицы коэффициентов A на нижнюю треугольную матрицу L, верхнюю треугольную матрицу U и диагональную матрицу D. Это производится один раз, перед началом цикла while. Разложение можно выполнить, например, с помощью алгоритма LU-разложения. Для удобства вычислений, в коде L и U заполняются нулями исходно, а затем вычисляются с помощью циклов. Пример использования метода Зейделя на Паскале:

program Gauss_Seidel_Test;

{$APPTYPE CONSOLE}

uses Math;

type
  TVector = array of extended;
  TMatrix = array of TVector;

procedure PrintVector(const v: TVector);
var i: integer;
begin
  for i:=0 to high(v) do
    write(v[i]:8:3);
  writeln;
end;

procedure Gauss_Seidel(A: TMatrix; b: TVector; const eps: extended; var x: TVector);
var
  n: integer;
  i, j: integer;
  xi: extended;
  norm, error: extended;
  L, U, d: TMatrix;
begin
  n:=length(b);
  x:=b;
  norm:=1;
  while (norm>eps) do
    begin
      norm:=0;
      for i:=0 to n-1 do
        begin
          xi:=0;
          for j:=0 to i-1 do
            xi:=xi+L[i,j]*x[j];
          for j:=i+1 to n-1 do
            xi:=xi+U[i,j]*x[j];
          xi:=(b[i]-xi)/d[i,i];
          error:=abs(xi-x[i]);
          if (error>norm) then norm:=error;
          x[i]:=xi;
        end;
    end;
end;

var
  A: TMatrix;
  b, x: TVector;
  eps: extended;
  i, j: integer;
begin
  SetLength(A, 3, 3);
  A[0,0]:= 5; A[0,1]:=-1; A[0,2]:= 2;
  A[1,0]:=-1; A[1,1]:= 5; A[1,2]:= 3;
  A[2,0]:= 1; A[2,1]:= 2; A[2,2]:= 4;
  SetLength(b, 3);
  b[0]:= 6; b[1]:= 9; b[2]:= 3;
  eps:=1e-6;
  Gauss_Seidel(A, b, eps, x);
  PrintVector(x);
end.

В данном примере решается система из трех уравнений: 5x1 - x2 + 2x3 = 6 -x1 + 5x2 + 3x3 = 9 x1 + 2x2 + 4x3 = 3 Решение этой системы с помощью метода Зейделя на Паскале было найдено с точностью 10^-6 и выведено на экран: 1.029 1.971 -0.998 Это означает, что метод Зейделя сходится к решению системы, близкому к точному, за несколько итераций. Параметр точности eps можно изменить в коде программы, а в качестве начальных приближений x может быть выбран любой вектор.