Для начала разберемся, как выглядит сумма этих 250 чисел.
У нас есть 250 чисел, составленных только из девяток. В полном виде это будет выглядеть следующим образом:
9 + 99 + 999 + ... + 99999 (250 чисел)
Обратим внимание на паттерн, который образуется при сложении этих чисел. Каждое следующее число состоит из предыдущего числа, увеличенного на единицу и дополненного справа одной девяткой. Например:
9 + 99 = 108
99 + 999 = 1098
999 + 9999 = 10998
Таким образом, каждое следующее число будет иметь на одну девятку больше, чем предыдущее число. Мы можем использовать этот паттерн для составления формулы суммы всех этих чисел.
Пусть S будет суммой всех этих чисел. Тогда можем записать:
S = 9 + 99 + 999 + ... + 99999 (250 чисел)
У нас есть 250 чисел, поэтому мы также можем записать это как:
S = 9 × 1 + 9 × 11 + 9 × 111 + ... + 9 × 111...1 (250 единиц)
Теперь можем заметить, что каждое слагаемое в правой части формулы представляет собой какое-то число только из десяток. Например:
9 × 1 = 9
9 × 11 = 99
9 × 111 = 999
Это значит, что мы можем представить каждое слагаемое как произведение числа 9 на какое-то число, содержащее только девятки (количество девяток в этом числе равно количеству цифр в числе). Тогда наша формула будет выглядеть так:
S = 9 × 1 + 9 × 11 + 9 × 111 + ... + 9 × (111...1) (250 единиц)
Теперь мы можем заметить, что каждое слагаемое в правой части формулы можно выразить как (10^n - 1), где n - количество девяток в этом числе. Например:
9 × 1 = 9 × (10^1 - 1) = 9 × 10 - 9 = 90
9 × 11 = 9 × (10^2 - 1) = 9 × 100 - 9 = 990
9 × 111 = 9 × (10^3 - 1) = 9 × 1000 - 9 = 9990
Теперь наша формула будет выглядеть так:
S = (9 × (10^1 - 1)) + (9 × (10^2 - 1)) + (9 × (10^3 - 1)) + ... + (9 × (10^250 - 1))
По распределительному закону сложения (a + b + c = a + (b + c)) мы можем переписать эту формулу следующим образом:
S = 9 × ((10^1 - 1) + (10^2 - 1) + (10^3 - 1) + ... + (10^250 - 1))
Мы видим, что в каждой скобке у нас стоит сумма чисел от 1 до n, где n - степень десятки (10^n). Такую сумму можно выразить формулой:
1 + 2 + 3 + ... + n = (n × (n + 1)) / 2
Теперь мы можем записать нашу формулу для S следующим образом:
S = 9 × (((10^1 × (10^1 - 1)) / 2) + ((10^2 × (10^2 - 1)) / 2) + ((10^3 × (10^3 - 1)) / 2) + ... + ((10^250 × (10^250 - 1)) / 2))
Мы можем упростить эту формулу, заметив, что каждая скобка внутри большой скобки можно представить как произведение степени десятки на число, состоящее только из единиц. Таким образом, нашу формулу для S можно переписать следующим образом:
S = 9 × (((10^1 × (10^1 - 1)) / 2) + ((10^2 × (10^2 - 1)) / 2) + ((10^3 × (10^3 - 1)) / 2) + ... + ((10^250 × (10^250 - 1)) / 2))
= 9 × (10^1 × (10^1 - 1) / 2 + 10^2 × (10^2 - 1) / 2 + 10^3 × (10^3 - 1) / 2 + ... + 10^250 × (10^250 - 1) / 2)
Теперь мы можем провести несколько упрощений. Заметим, что у нас есть общий множитель 9, а также каждое слагаемое представляет собой произведение двух чисел, где второе число в каждом слагаемом представляет собой сумму двух величин, где первая величина является степенью десятки (10^n), а вторая величина является числом, состоящим только из единиц.
Таким образом, мы можем переписать нашу формулу для S следующим образом:
S = 9 × (10^1 × (10^1 - 1) / 2 + 10^2 × (10^2 - 1) / 2 + 10^3 × (10^3 - 1) / 2 + ... + 10^250 × (10^250 - 1) / 2)
= (9 × (10^1 × (10^1 - 1) / 2)) + (9 ×(10^2 × (10^2 - 1) / 2)) + (9 × (10^3 × (10^3 - 1) / 2)) + ... + (9 × (10^250 × (10^250 - 1) / 2))
Теперь перепишем каждое слагаемое внутри скобок в виде произведения степени десятки на число, состоящее только из единиц:
S = (9 × (10^1 × (10^1 - 1) / 2)) + (9 ×(10^2 × (10^2 - 1) / 2)) + (9 × (10^3 × (10^3 - 1) / 2)) + ... + (9 × (10^250 × (10^250 - 1) / 2))
= (9 × 10^1 × ((10^1 - 1) / 2)) + (9 × 10^2 × ((10^2 - 1) / 2)) + (9 × 10^3 × ((10^3 - 1) / 2)) + ... + (9 × 10^250 × ((10^250 - 1) / 2))
Мы видим, что каждое слагаемое можно упростить, заметив, что каждый множитель 10 вида 10^n является произведением двух чисел, где первое число является степенью десятки (10^n), а второе число является числом, состоящим только из единиц. Таким образом, каждый множитель 10^n можно представить в виде разности (10^n - 1). Подставим это в нашу формулу:
S = (9 × 10^1 × ((10^1 - 1) / 2)) + (9 × 10^2 × ((10^2 - 1) / 2)) + (9 × 10^3 × ((10^3 - 1) / 2)) + ... + (9 × 10^250 × ((10^250 - 1) / 2))
= (9 × 10^1 × (10^1 - 1) / 2) + (9 × 10^2 × (10^2 - 1) / 2) + (9 × 10^3 × (10^3 - 1) / 2) + ... + (9 × 10^250 × (10^250 - 1) / 2)
Теперь мы можем провести несколько упрощений, используя закон распределения умножения (a × (b + c) = a × b + a × c):
S = (9 × 10^1 × (10^1 - 1) / 2) + (9 × 10^2 × (10^2 - 1) / 2) + (9 × 10^3 × (10^3 - 1) / 2) + ... + (9 × 10^250 × (10^250 - 1) / 2)
= (9 × 10^1 × 10^1 / 2 - 9 × 10^1 / 2) + (9 × 10^2 × 10^2 / 2 - 9 × 10^2 / 2) + (9 × 10^3 × 10^3 / 2 - 9 × 10^3 / 2) + ... + (9 × 10^250 × 10^250 / 2 - 9 × 10^250 / 2)
= (9 × 10^2 / 2 - 9 × 10^1 / 2) + (9 × 10^3 / 2 - 9 × 10^2 / 2) + (9 × 10^4 / 2 - 9 × 10^3 / 2) + ... + (9 × 10^251 / 2 - 9 × 10^250 / 2)
= 9 × (10^2 / 2 + 10^3 / 2 + 10^4 / 2 + ... + 10^251 / 2) - 9 × (10^1 / 2 + 10^2 / 2 + 10^3 / 2 + ... + 10^250 / 2)
= 9 × ((10^2 + 10^3 + 10^4 + ... + 10^251) / 2) - 9 × ((10^1 + 10^2 + 10^3 + ... + 10^250) / 2)
Теперь заметим, что каждая скобка внутри большой скобки представляет собой сумму геометрической прогрессии, где первый член равен 10^2 (в первой скобке) и 10^1 (во второй скобке), а знаменатель равен 10. Количество членов в этой прогрессии равно 250 (поскольку у нас 250 чисел в исходной последовательности).
Таким образом, мы можем записать нашу формулу для S следующим образом:
S = 9 × ((10^2 + 10^3 + 10^4 + ... + 10^251) / 2) - 9 × ((10^1 + 10^2 + 10^3 + ... + 10^250) / 2)
= 9 × ((10^2 × (1 - 10^250) / (1 - 10)) / 2) - 9 × ((10^1 × (1 - 10^249) / (1 - 10)) / 2)
= (9 × (10^2 × (1 - 10^250) / (1 - 10)) / 2) - (9 × (10^1 × (1 - 10^249) / (1 - 10)) / 2)
= (9 × (10^2 × -9.99999999999999999999999999999999...) / 2) - (9 × (10^1 × -9.99999999999999999999999999999999...) / 2)
= -4.5 × (10^3 × 9.99999999999999999999999999999999...) - 4.5 × (10^2 × 9.99999999999999999999999999999999...)
Теперь мы можем заметить
