Для начала, рассмотрим неравенство Дженсена, которое утверждает, что для вогнутой функции f(x) и случайной величины X с конечным математическим ожиданием E(X) верно следующее неравенство: E(f(X)) ≤ f(E(X)) Пользуясь этим неравенством, докажем данное в задании неравенство: Для начала, заметим, что функция f(x) = x^4 является вогнутой на всей вещественной оси, так как вторая производная f''(x) = 12x^2 является положительной для любого значения x. Поэтому, применяя неравенство Дженсена, получаем: E(X^4) ≤ (E(X))^4 Аналогично, функция g(x) = x^8 является вогнутой на всей вещественной оси, так как вторая производная g''(x) = 28x^6 является положительной для любого значения x. Поэтому: E(X^8) ≤ (E(X))^8 Теперь, перемножим полученные неравенства: E(X^4)E(X^8) ≤ (E(X))^4(E(X))^8 Упростим правую часть неравенства: (E(X))^4(E(X))^8 = (E(X))^12 Теперь рассмотрим вторую часть неравенства. Аналогично, функция h(x) = x^3 является вогнутой на всей вещественной оси, так как вторая производная h''(x) = 6x является положительной для любого значения x. Поэтому, применяя неравенство Дженсена, получаем: E(X^3) ≤ (E(X))^3 Аналогично, функция k(x) = x^9 является вогнутой на всей вещественной оси, так как вторая производная k''(x) = 504x^7 является положительной для любого значения x. Поэтому: E(X^9) ≤ (E(X))^9 Теперь перемножим полученные неравенства: E(X^3)E(X^9) ≤ (E(X))^3(E(X))^9 Упростим правую часть неравенства: (E(X))^3(E(X))^9 = (E(X))^12 Как видно, правые части обоих неравенств равны, поэтому получаем: E(X^4)E(X^8) ≤ E(X^3)E(X^9) Таким образом, мы доказали данное неравенство при помощи неравенства Дженсена. Это неравенство можно сформулировать следующим образом: Произведение математических ожиданий четных степеней меньше или равно произведению математических ожиданий ближайших к ним нечетных степеней.