Для начала рассмотрим треугольники ADB и ADC. Пусть точка P - точка пересечения прямых AB и DC, и точка Q - точка пересечения прямых AC и DB. Так как AD - биссектриса треугольника ABC, то имеем: AB/BD = AC/CD Из равенства углов ADB и ADC следует, что треугольники ADB и ADC подобны, значит имеем: AD^2 = AB*AC = AM*AN Так как точки M и N — точки касания окружностей ADB и ADC с прямой l, то AM и AN — касательные к этим окружностям. Поэтому имеем: AD^2 = AM*AN = BM*MN = CN*MN Теперь обратим внимание на треугольники BDP и CDP. Из равенства углов MBD и MCD следует, что эти треугольники подобны. Значит имеем: PD/PB = DC/BD = AC/AB Таким образом, PD*PB = AC*AB = AM*AN = BM*MN = CN*MN Поэтому точка P лежит на окружности, проходящей через середины отрезков BD, DC и MN. Аналогично доказывается, что точка Q лежит на этой же окружности. Пусть O - центр этой окружности, а R - радиус. Точки B, D и M лежат на окружности с центром M и радиусом MD/2. Значит, BM = MD/2 и BD = MD. Аналогично, CM = ND/2 и CD = ND. Так как точки B, D и M лежат на окружности, то получаем следующие равенства: BM^2 + BD^2 = 5*(MD^2)/4 CM^2 + CD^2 = 5*(ND^2)/4 Так как точки M и N лежат на окружности с центром O и радиусом R, то получаем следующее равенство: MN^2 = 5*(R^2)/4 Заметим, что BD^2 = MD^2 = MD*MD = (MD/2)*(2*MD) CD^2 = ND^2 = ND*ND = (ND/2)*(2*ND) Таким образом, исходя из полученных равенств, получаем: BM^2 + BD^2 = (MD/2)^2 + MD^2 = 5*(MD^2)/4 = 5*(R^2)/4 = MN^2 = CN^2 + ND^2 = CM^2 + CD^2 Значит, точки B, D, M, C и N лежат на одной окружности. Теперь рассмотрим ситуацию с прямой l. Пусть точка Y - точка пересечения прямых BD и MN. Докажем, что эта точка лежит на прямой l. Очевидно, что угол MBD есть угол между касательной MY и прямой BD, а угол DMN есть угол между касательной MY и прямой MN. Так как точка Y лежит на общей хорде отрезков BD и MN, а последние лежат в окружности, точка Y есть точка пересечения дуг отрезков BD и MN. Получаем, что: угол MBD = угол DMN Так как точка M лежит на касательной к окружности ADB, а точка Y лежит на касательной к той же окружности, то такие углы равны по теореме о равенстве углов между хордами общей секущей. То же самое можно сказать про угол DMN и угол DAN. Из равенства углов MBD и DMN следует равенство углов DMN и DAN. Так как MD встречает эти углы, значит MN есть биссектриса угла DAN. Значит, прямая l есть биссектриса угла DAN. Так как пересекается с основанием AD, получаем: прямая l есть биссектриса угла ADN. Таким образом, мы доказали, что прямая l касается окружности, проходящей через середины отрезков BD, DC и MN.