Для начала разберемся с определением симметричного распределения. Случайная величина X имеет симметричное распределение, если ее плотность вероятности симметрична относительно некоторой точки (обычно это ноль) на числовой оси. То есть, если X имеет симметричное распределение, то для любого значения x плотность вероятности P(X = x) равна плотности вероятности P(X = -x).
Также по условию задачи известно, что X имеет конечную дисперсию. Дисперсия случайной величины характеризует степень ее разброса относительно математического ожидания. Для нахождения дисперсии нужно найти разность между квадратом математического ожидания и математическим ожиданием квадрата случайной величины.
Теперь рассмотрим случайную величину |X|. Модуль случайной величины в данном случае означает, что мы берем абсолютное значение X, то есть игнорируем ее знак и рассматриваем только положительные значения.
Для нахождения коэффициента корреляции между X и |X| нам сначала нужно найти их математические ожидания и дисперсии.
Математическое ожидание случайной величины X равно среднему значению этой случайной величины и обозначается E(X).
Математическое ожидание случайной величины |X| можно найти как сумму вероятностей положительных значений их X и вероятностей отрицательных значений X. То есть:
E(|X|) = Сумма по всем положительным значениям x {x * P(X = x)} + Сумма по всем отрицательным значениям x {-x * P(X = -x)}
Таким образом, мы учитываем все положительные значения случайной величины X по их вероятность, умноженную на значение самой случайной величины, и делаем то же самое со всеми отрицательными значениями.
Для дисперсии случайной величины X мы вычисляем разность между средним значением квадратов X и квадратом среднего значения X:
D(X) = E(X^2) - (E(X))^2
Для нахождения дисперсии случайной величины |X| мы также вычисляем разность между средним значением квадратов |X| и квадратом среднего значения |X|:
D(|X|) = E(|X|^2) - (E(|X|))^2
Теперь мы можем найти коэффициент корреляции между X и |X|. Коэффициент корреляции обозначается как ρ(X, |X|) и вычисляется по формуле:
ρ(X, |X|) = Cov(X, |X|) / (σ(X) * σ(|X|))
где Cov(X, |X|) - ковариация между случайными величинами X и |X|,
σ(X) - стандартное отклонение X,
σ(|X|) - стандартное отклонение |X|.
Ковариация между X и |X| вычисляется следующим образом:
Cov(X, |X|) = E(X * |X|) - E(X) * E(|X|)
Стандартное отклонение случайной величины X можно вычислить как квадратный корень из ее дисперсии:
σ(X) = sqrt(D(X))
Аналогично, стандартное отклонение случайной величины |X| можно вычислить как квадратный корень из ее дисперсии:
σ(|X|) = sqrt(D(|X|))
Таким образом, чтобы найти коэффициент корреляции между X и |X|, мы должны вычислить:
1. Математическое ожидание X - E(X)
2. Математическое ожидание |X| - E(|X|)
3. Дисперсию X - D(X)
4. Дисперсию |X| - D(|X|)
5. Ковариацию между X и |X| - Cov(X, |X|)
6. Стандартное отклонение X - σ(X)
7. Стандартное отклонение |X| - σ(|X|)
8. Коэффициент корреляции ρ(X, |X|) - Cov(X, |X|) / (σ(X) * σ(|X|))
Итак, чтобы найти коэффициент корреляции между случайными величинами X и |X|, мы должны вычислить все необходимые статистические моменты X и |X|, а затем применить формулу для вычисления коэффициента корреляции.
