Для решения данной задачи необходимо воспользоваться формулой для коэффициента корреляции между двумя случайными величинами: ρ(ζ,τ) = cov(ζ,τ) / (σζ * στ), где cov(ζ,τ) — ковариация между ζ и τ, а σζ и στ — стандартные отклонения случайных величин ζ и τ соответственно. Выразим ζ и τ через ξ и η: ζ = ξ + η τ = ξ - η Найдем ковариацию между ζ и τ: cov(ζ,τ) = cov(ξ+η, ξ-η) Раскроем скобки и воспользуемся свойством линейности ковариации: cov(ξ+η, ξ-η) = cov(ξ,ξ) - cov(ξ,η) + cov(η,ξ) - cov(η,η) Так как ξ и η независимы, то cov(ξ,η) = cov(η,ξ) = 0. Также, cov(ξ,ξ) = σ1^2 и cov(η,η) = σ2^2. Тогда cov(ζ,τ) = σ1^2 - σ2^2 Теперь найдем стандартные отклонения случайных величин ζ и τ: σζ = sqrt(var(ζ)) = sqrt(var(ξ+η)) = sqrt(var(ξ) + 2cov(ξ,η) + var(η)) = sqrt(σ1^2 + σ2^2) στ = sqrt(var(τ)) = sqrt(var(ξ-η)) = sqrt(var(ξ) - 2cov(ξ,η) + var(η)) = sqrt(σ1^2 + σ2^2) Подставим полученные значения в формулу для коэффициента корреляции: ρ(ζ,τ) = (σ1^2 - σ2^2) / (σ1^2 + σ2^2) Таким образом, коэффициент корреляции между ζ и τ зависит от разности дисперсий σ1^2 и σ2^2, и чем она меньше, тем корреляция ближе к единице. Если дисперсии равны, то коэффициент корреляции равен нулю. Например, если σ1^2 = 4 и σ2^2 = 1, то ρ(ζ,τ) = (4-1)/(4+1) = 0.6. Из этого можно сделать вывод, что если дисперсии ξ и η близки, то коэффициент корреляции между ζ и τ будет близок к 1. Если же дисперсии значительно отличаются, то корреляция будет низкой или отсутствовать. Таким образом, решив данную задачу, мы получили формулу для вычисления коэффициента корреляции между двумя случайными величинами с известными дисперсиями. Эта формула может быть полезна для анализа зависимости между переменными в различных научных и практических областях.