Представим задачу графически:

-------------------

|        |        |

|        |        |

|        |        |

|        |        |

-------------------

Пусть сторона квадрата Пупсеня равна a, а сторона внутреннего квадрата - b. Тогда внешний квадрат можно разбить на 4 внутренних квадрата, поэтому его площадь равна 4b^2. Также, площадь внешнего квадрата равна a^2, а площадь внутреннего - b^2. Из задачи нам известно, что разница между площадями этих квадратов равна 43. Тогда мы можем составить следующее уравнение: a^2 - 4b^2 = 43 Теперь рассмотрим другую информацию из задачи. Нам известно, что у Пупсеня осталось 43 ягоды. Предположим, что изначально у него было x ягод. После того, как Вупсень съел ягоды внутри квадрата Пупсеня, осталось x - 43 ягод. Теперь вернемся к площадям квадратов. Если изначально у Пупсеня было x ягод, то площадь внешнего квадрата равна x, а площадь внутреннего - x - 43. Поэтому мы можем составить еще одно уравнение: x = a^2 - (x - 43) Решим полученную систему уравнений. Подставим a^2 из первого уравнения во второе: x = (4b^2 + 43) - (x - 43) x = 4b^2 + 2 * 43 - x Тогда x + x = 4b^2 + 2 * 43 2x = 4b^2 + 86 x = 2b^2 + 43 ``` Теперь мы можем сделать некоторые выводы: 1) У Пупсеня и Вупсеня должно быть одинаковое количество ягод, ведь Вупсень съел только ягоды внутри квадрата Пупсеня. 2) Количество ягод, оставшихся у Пупсеня, должно быть полным квадратом. Исследуем последний вывод подробнее. Допустим, что у Пупсеня изначально было 3 ягоды. Тогда количество ягод, оставшихся у Пупсеня - 0. Но ведь количество ягод в этом случае не является полным квадратом. Значит, изначально у Пупсеня было больше 3 ягод. Сделаем еще одно наблюдение: количество ягод, оставшихся у Пупсеня, должно быть нечетным числом, так как 2b^2 + 43 не может быть четным числом. Теперь мы можем проверить все нечетные числа, которые больше 3. Для этого заменим x в полученном уравнении на эти значения и найдем соответствующие значения b. Затем рассчитаем a и проверим, выполняется ли первое уравнение в нашей системе. Пройдемся по всем значениям нечетных чисел, начиная с 5: 1) При x = 5, b = 1, a = 2. a^2 - 4b^2 = 4 - 4 = 0, что не равно 43. Значит, это решение не подходит. 2) При x = 7, b = 2, a = 5. a^2 - 4b^2 = 5^2 - 4 * 2^2 = 25 - 16 = 9, что не равно 43. 3) При x = 9, b = 3, a = 8. a^2 - 4b^2 = 8^2 - 4 * 3^2 = 64 - 36 = 28, что не равно 43. 4) При x = 11, b = 4, a = 13. a^2 - 4b^2 = 13^2 - 4 * 4^2 = 169 - 64 = 105, что не равно 43. 5) И так далее. Мы видим, что ни одно из этих решений не подходит. Значит, ошибка в нашем рассуждении или мы упустили что-то. Попробуем пересмотреть задачу и посмотреть, что мы могли упустить. Мы сделали вывод, что Вупсень съел все ягоды внутри квадрата Пупсеня, но мы не знаем, что произошло с ягодами, находящимися вне квадрата Пупсеня. Возможно, они остались на столе. Давайте допустим, что на столе осталось x ягод. В этом случае количество ягод, оставшихся у Пупсеня, будет x + 43. Теперь пересчитаем свои уравнения с учетом этих изменений. Мы должны определить, при каких значениях x у нас будет полный квадрат: x + 43 = 2b^2 + 43 x = 2b^2 Подставим это в первое уравнение: a^2 - 4b^2 = 43 Если мы рассмотрим разные значения b, то увидим, что первое уравнение не выполняется. Это означает, что подходящего значения x и нет. Обнаружив, что нет подходящих значений, мы понимаем, что наш первоначальный вывод, что количество ягод, оставшихся у Пупсеня, должно быть полным квадратом, неверен. Значит, изначально у Пупсеня было не четное количество ягод. Вернемся к уравнению x = 2b^2 + 43. 1) При x = 1, b = 1 a^2 - 4b^2 = a^2 - 4 = 43. Решения в целых числах нет. 2) При x = 3, b = 1 a^2 - 4b^2 = a^2 - 4 = 43. Решения в целых числах нет. 3) При x = 5, b = 1 a^2 - 4b^2 = a^2 - 4 = 43. Решения в целых числах также нет. 4) При x = 7, b = 1 a^2 - 4b^2 = a^2 - 4 = 43. Решения в целых числах не существует. 5) При x = 9, b = 2 a^2 - 4b^2 = a^2 - 16 = 43. Решения в целых числах нет. 6) И так далее. Мы видим, что ни одно из этих решений не подходит. Значит, опять же, либо мы сделали ошибку в рассуждениях, либо упустили что-то в самой постановке задачи. Пересмотрим задачу тщательнее. В ней сказано, что Пупсень выложил ягоды на столе в форме квадрата. Но не сказано, что все ягоды находятся именно в этом квадрате. То есть, возможно, они могли располагаться и вне него. Предположим, что ягоды Пупсеня располагались не только в квадрате, но и на столе вне этого квадрата. Тогда наличие ягод на столе не должно влиять на количество ягод, оставшихся у Пупсеня. Обозначим количество ягод на столе через y. Теперь пересчитаем наши уравнения с учетом этого нового знания: x = a^2 - (x - 43 + y) x = a^2 + 43 + y Подставим это в первое уравнение: a^2 - 4b^2 = 43 Решим полученную систему уравнений. Подставим a^2 из первого уравнения во второе: a^2 + 43 + y = 4b^2 + 43 Теперь мы можем составить другое уравнение: y = 4b^2 - a^2 Можно сделать следующие наблюдения: 1) y должно быть нечетным числом, так как 4b^2 нечетно. 2) количества ягод на столе, y, и ягод, оставшихся у Пупсеня, x, не зависят от величины a и b. Расмотрим различные значения b, при которых 4b^2 - a^2 является нечетным: 1) При b = 0, y = -a^2. Это невозможно, так как мы рассматриваем только положительные значения. 2) При b = 1, y = 3. Мы видим, что это возможное значение. 3) При b = 2, y = 12. Это тоже возможное значение. 4) При b = 3, y = 27. Опять же, возможное значение. 5) При b = 4, y = 48. Возможное значение. 6) И так далее. Теперь мы можем перейти к поиску подходящих значений для a и b. Мы уже определили, что для некоторых значений b мы получаем нечетное значение y. Остается найти соответствующие этим y значения a и b. При b = 1, y = 3, мы можем заметить, что a^2 = 4. Решение в целых числах не существует. При b = 2, y = 12, у нас получается a^2 = 16. Это означает, что a = 4. В этом случае количество ягод, оставшихся у Пупсеня, будет равно: x = a^2 + 43 + y = 4^2 + 43 + 12 = 16 + 43 + 12 = 71. Мы нашли одно подходящее значение для исходного числа ягод: 71. Теперь проверим это решение: У Пупсеня было 71 ягода, а Вупсень съел ягоды внутри квадрата Пупсеня. Проведя такую операцию, у нас осталось 28 ягод на столе. Это означает, что у Пупсеня осталось 71 - 28 = 43 ягоды, что согласуется с условием задачи. Таким образом, полученное решение верно. Изначально у Пупсеня было 71 ягода.