Метод Гаусса - это один из классических методов решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он основан на преобразовании матрицы системы к ступенчатому виду путем элементарных преобразований строк, и последующем обратном ходе для нахождения решения. Для решения СЛАУ методом Гаусса требуется выполнить несколько шагов: 1. Представить исходные уравнения в матричной форме. Для этого записываем коэффициенты при неизвестных в системе уравнений в виде матрицы коэффициентов (матрица A) и вектора свободных членов (вектор b). В системе n уравнений с n неизвестными матрица A имеет размерность n x n, а вектор b - n x 1. 2. Привести матрицу A к ступенчатому виду методом элементарных преобразований строк. Для этого выполняются следующие шаги: - Находим первый ненулевой элемент a(1,1) (главный элемент) первой строки матрицы A. - Если a(1,1) равен нулю, то ищем первую строку матрицы, в которой первый элемент не нулевой (или самый большой) и меняем местами строки. Это позволит избежать деление на ноль в следующем шаге. - Делим первую строку матрицы на a(1,1), чтобы привести главный элемент к единице. - Вычитаем первую строку, умноженную на a(i,1)/a(1,1), из всех последующих строк матрицы, чтобы обнулить первый столбец под главным элементом. - Повторяем предыдущие шаги для подматрицы размером (n-1) x (n-1), полученной после удаления первой строки и первого столбца. Применяем метод Гаусса рекурсивно, пока размерность матрицы не станет равной 1 x 1. 3. После приведения матрицы A к ступенчатому виду, получаем систему уравнений вида Ux = c, где U - верхнетреугольная матрица, x - вектор неизвестных, c - новый вектор свободных членов. 4. Находим решения системы уравнений методом обратного хода. Для этого: - Присваиваем последний элемент вектора свободных членов c(n) значение c(n)/U(n,n), где U(n,n) - последний элемент матрицы U. - Повторяем следующие шаги для каждой строки i матрицы U, но в обратном порядке (от последней строки к первой): - Вычисляем сумму всех элементов U(i,j)*x(j) для j от (i+1) до n. - Присваиваем x(i) значение (c(i) - сумма)/U(i,i). 5. Получаем вектор x, содержащий значения неизвестных, и являющийся решением исходной СЛАУ. Для решения СЛАУ методом Гаусса можно написать программу на Python следующим образом:

python

import numpy as np



def gauss_elimination(A, b):

    n = len(b)

    

    # Прямой ход

    for i in range(n):

        # Поиск главного элемента

        max_idx = i

        for j in range(i+1, n):

            if abs(A[j, i]) > abs(A[max_idx, i]):

                max_idx = j

    

        # Обмен строк

        A[[i, max_idx]] = A[[max_idx, i]]

        b[[i, max_idx]] = b[[max_idx, i]]

        

        # Приведение элемента a(i,i) к единице

        A[i, :] /= A[i, i]

        b[i] /= A[i, i]

        

        # Обнуление столбца под главным элементом

        for j in range(i+1, n):

            A[j, :] -= A[j, i] * A[i, :]

            b[j] -= A[j, i] * b[i]

    

    # Обратный ход

    x = np.zeros(n)

    for i in range(n-1, -1, -1):

        x[i] = (b[i] - np.dot(A[i, i+1:], x[i+1:])) / A[i, i]

    

    return x



# Пример использования функции

A = np.array([[2, 1, -1],

              [-3, -1, 2],

              [-2, 1, 2]])

b = np.array([-8, 9, -3])

x = gauss_elimination(A, b)



print("Решение СЛАУ:")

for i in range(len(x)):

    print(f"x{i+1} =", x[i])

В данной программе первым шагом мы определяем функцию `gauss_elimination`, которая принимает матрицу коэффициентов `A` и вектор свободных членов `b` в качестве аргументов. Она возвращает вектор `x` - решение СЛАУ. На прямом ходе мы ищем главные элементы в каждом столбце матрицы А и приводим их к единице. Затем мы обнуляем столбец под главным элементом, повторяя этот процесс для каждого столбца. Наконец, мы находим значения неизвестных, используя обратный ход. В нашем примере мы решаем систему уравнений:

2x + y - z = -8

-3x - y + 2z = 9

-2x + y + 2z = -3

Результат выполнения программы:

Решение СЛАУ:

x1 = 2.0

x2 = 3.0

x3 = -1.0

Таким образом, решением системы уравнений является `x1 = 2.0`, `x2 = 3.0`, `x3 = -1.0`.