Метод Зейделя является одним из итерационных методов решения системы линейных алгебраических уравнений. Он основан на итерационной формуле, которая последовательно приближает значения неизвестных переменных системы. Для начала, давайте рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений. Предположим, что дана система из n уравнений с n неизвестными: a11 * x1 + a12 * x2 + ... + a1n * xn = b1 a21 * x1 + a22 * x2 + ... + a2n * xn = b2 .................................................. an1 * x1 + an2 * x2 + ... + ann * xn = bn Где aij - коэффициенты системы, xi - неизвестные переменные, bi - правая часть уравнений. Метод Зейделя решает эту систему пошагово, последовательно обновляя значения неизвестных переменных. Каждое уравнение системы рассматривается поочередно, и значения x1, x2, ..., xi-1, xi+1, ..., xn на каждом шаге обновляются в соответствии с текущими значениями xi. Таким образом, для каждого уравнения i мы используем уже обновленные значения переменных x1, x2, ..., xi-1, xi+1, ..., xn. Алгоритм метода Зейделя: 1. Задать начальное приближение для неизвестных переменных x1, x2, ..., xn. 2. Пока не достигнута заданная точность или не превышено максимальное число итераций, выполнять следующие шаги: 2.1. Для каждого уравнения i от 1 до n выполнить шаг: 2.1.1. Выразить переменную xi из i-го уравнения, используя текущие значения x1, x2, ..., xi-1, xi+1, ..., xn. 2.1.2. Обновить значение переменной xi, используя полученное выражение и текущие значения x1, x2, ..., xi-1, xi+1, ..., xn. 2.2. Увеличить число итераций на 1. 3. Вернуть найденные значения неизвестных переменных x1, x2, ..., xn. Теперь реализуем алгоритм метода Зейделя на языке Python.

python

def seidel(A, b, x0, max_iter, eps):

    n = len(A)  # Размер системы уравнений

    x = x0  # Начальное приближение

    iter = 0  # Число итераций



    while iter < max_iter:

        iter += 1



        for i in range(n):

            # Выразить переменную xi из i-го уравнения, используя текущие значения x1, x2, ..., xi-1, xi+1, ..., xn

            xi = (b[i] - sum(A[i][j] * x[j] for j in range(n) if j != i)) / A[i][i]



            # Обновить значение переменной xi

            x[i] = xi



        # Проверка условия сходимости (если норма разности текущего и предыдущего значения каждой переменной меньше eps, то выход из цикла)

        if max(abs(x[i] - x0[i]) for i in range(n)) < eps:

            break



        # Установить текущие значения переменных x1, x2, ..., xn для следующей итерации

        x0 = x



    return x



# Пример использования:

A = [[4, -1, 0], [1, 5, -2], [0, -3, 6]]  # Матрица коэффициентов системы

b = [2, 0, 4]  # Правая часть уравнений

x0 = [0, 0, 0]  # Начальное приближение

max_iter = 1000  # Максимальное число итераций

eps = 0.0001  # Точность



solution = seidel(A, b, x0, max_iter, eps)

print("Solution:", solution)

В данном примере мы решаем систему линейных алгебраических уравнений с матрицей коэффициентов A, правой частью уравнений b, начальным приближением x0, максимальным числом итераций max_iter и требуемой точностью eps. Результатом работы программы являются найденные значения неизвестных переменных. В итоге, метод Зейделя позволяет решать системы линейных алгебраических уравнений итерационным способом. Он основывается на последовательном обновлении значений неизвестных переменных и прекращает свою работу, когда достигнута заданная точность или превышено максимальное число итераций.