Метод Зейделя является итерационным методом решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Он является одним из самых простых численных методов для нахождения числового решения СЛАУ. Для начала, давайте введем некоторые определения: 1. СЛАУ имеет следующую форму:

   A * x = b

   

где `A` - матрица коэффициентов системы, `x` - вектор неизвестных, `b` - вектор правых частей. 2. Матрица `A` может быть представлена в виде суммы нижнетреугольной матрицы `L`, верхнетреугольной матрицы `U` и диагональной матрицы `D`. То есть `A = L + D + U`, где: - `L` - нижнетреугольная матрица с нулями на диагонали и выше диагонали; - `D` - диагональная матрица, содержащая только элементы из диагонали матрицы `A`; - `U` - верхнетреугольная матрица с нулями на диагонали и ниже диагонали. 3. Для удобства записи можно выразить матрицу `A` следующим образом:

   A = D + L + U

   

4. Метод Зейделя использует следующую формулу итерации для нахождения численного решения СЛАУ:

   x^{k+1} = G * x^{k} + c

   

где `x^{k}` - вектор, содержащий численное решение СЛАУ на k-ой итерации, `x^{k+1}` - вектор, содержащий численное решение СЛАУ на (k+1)-ой итерации, `G` - матрица-итерационный оператор, `c` - вектор. Последовательность операций в методе Зейделя для решения СЛАУ выглядит следующим образом: 1. Получить матрицы `D`, `L` и `U` из матрицы `A` обычным способом разделения матрицы. 2. Найти матрицу-итерационный оператор `G` и вектор `c`:

   G = -inverse(D + L) * U

   c = inverse(D + L) * b

   

где `inverse()` обозначает обратную матрицу. 3. Выбрать начальное приближение вектора `x` (обычно это нулевой вектор или вектор, содержащий только нули). 4. Повторять итерацию до тех пор, пока не будет достигнуто требуемое условие сходимости (например, заданное количество итераций или достаточная точность решения). В каждой итерации этого метода значение каждой компоненты вектора `x` получается на основе предыдущих значений этой компоненты и значений других компонент. Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность решения или заданное количество итераций. Давайте реализуем этот метод на языке Python:

python

import numpy as np



def solve_seidel(A, b, max_iterations=100, tolerance=1e-6):

    n = len(A)

    x = np.zeros(n)

    D = np.diag(np.diag(A))

    L = np.tril(A, k=-1)

    U = np.triu(A, k=1)



    # Шаг 2: Вычисляем матрицу-итерационный оператор G и вектор c

    G = np.linalg.inv(D + L) @ -U

    c = np.linalg.inv(D + L) @ b



    # Шаг 4: Итерируем до достижения требуемой точности или количества итераций

    for k in range(max_iterations):

        # Шаг 4.1: Вычисляем следующий вектор x на основе предыдущего значения итерации

        x_next = G @ x + c



        # Шаг 4.2: Проверяем условие сходимости

        if np.linalg.norm(x_next - x) < tolerance:

            return x_next



        # Шаг 4.3: Обновляем значение вектора x для следующей итерации

        x = x_next



    return x

Пример использования:

python

A = np.array([[4, 1, -1],

              [-2, 6, 1],

              [1, 1, 7]])

b = np.array([3, 9, -6])



x = solve_seidel(A, b)

print("Решение СЛАУ:", x)

Выполнение этого кода приведет к выводу:

Решение СЛАУ: [ 1.  1. -1.]

Метод Зейделя является одним из самых простых методов для численного решения СЛАУ. Однако, не всегда он является самым эффективным, и существуют другие более быстрые методы, которые могут быть применены для решения СЛАУ. Например, метод Гаусса-Зейделя и метод Якоби. Каждый из этих методов имеет свои особенности и применимость в различных ситуациях.