Данный многочлен можно представить в стандартном виде следующим образом: 1 + 5z - z^2 + 2z^3 + 7z^4 - z^5 + 12z^15 - 4z^12 + 7z^11 - 11z^12. Первые пять слагаемых в данном многочлене имеют вид: 1, 5z, -z^2, 2z^3, 7z^4. Эти слагаемые являются мономами, то есть членами многочлена состоящими из одного слагаемого. В данном случае эти мономы являются степенными функциями переменной z с неотрицательными целыми показателями степеней. Остальные слагаемые, такие как 12z^15, -4z^12, 7z^11, -11z^12 являются сложными членами многочлена, так как содержат несколько слагаемых, которые складываются или вычитаются между собой. показатели степени слагаемых в этом многочлене - это числа, указывающие на степень переменной z. В данном случае, у монома 12z^15 показатель степени равен 15, у монома -4z^12 - 12, у монома 7z^11 - 11, а у монома -11z^12 - также 12. Заметим, что в данном многочлене все слагаемые являются мономами или сложными членами, поэтому данный многочлен можно назвать полиномом. Теперь мы можем привести многочлен к ещё более привычному виду : 1 + 5z - z^2 + 2z^3 + 7z^4 + 0z^5 + 0z^6 + 0z^7 + 0z^8 + 0z^9 + 0z^10 + 7z^11 - 4z^12 + 0z^13 + 0z^14 + 12z^15. В данном виде все степени многочлена упорядочены по возрастанию и пропущенные степени заполнены нулями. При записи многочлена используются различные математические операции: сложение, вычитание, умножение и возведение в степень. Например, в данном многочлене слагаемые 1, 5z, -z^2, 2z^3, ... и т.д. складываются или вычитаются друг с другом. Также многочлен можно умножать на число, например, 5z умножается на 2, что даст 10z. Возведение в степень также используется в многочленах. Например, слагаемое z^2 означает, что переменная z возводится в квадрат. Многочлены широко используются в математическом анализе и алгебре, а также во многих других областях математики и естественных наук. Они помогают описывать и моделировать различные процессы и явления, а также решать задачи и уравнения.