Дана задача о лягушке, которая прыгает по круглому пруду, где растут 12 кувшинок. Лягушка сидит на одной из них и иногда испуганно квакает, при этом начинает прыгать по часовой стрелке. За один прыжок лягушка перемещается на ближайшую кувшинку по часовой стрелке. После первого квакания лягушка сделала 8 прыжков, а после второго - 9 прыжков. Чтобы решить задачу, необходимо найти такое число кваканий, после которого лягушка снова окажется на той же кувшинке, на которой она сидела изначально. Давайте рассмотрим два возможных варианта траектории лягушки после каждого квакания. Пусть лягушка начинает с кувшинки под номером 1. 1. Если лягушка делает 8 прыжков после первого квакания, то она переместится на кувшинку под номером 9 (т.к. прыжок делается по часовой стрелке). После второго квакания она делает 9 прыжков и перемещается на кувшинку под номером 6. Здесь возникает интересный момент - так как на пруду всего 12 кувшинок, то на третьем квакании лягушка снова сидит на первоначальной кувшинке под номером 1. То есть мы получаем такую траекторию: 1->9->6->1. Это трехшаговая траектория. 2. Если лягушка делает 9 прыжков после первого квакания, то она переместится на кувшинку под номером 10. После второго квакания она делает 8 прыжков и перемещается на кувшинку под номером 4. На третьем квакании лягушка снова сидит на первоначальной кувшинке под номером 1. То есть мы получаем такую траекторию: 1->10->4->1. Это также трехшаговая траектория. Таким образом, мы рассмотрели все возможные траектории после 3 кваканий и убедились, что наименьшее число кваканий, после которого лягушка снова окажется на исходной кувшинке, равно 3.