Дано уравнение кривой x² - 8x - 16y + 32 = 0. Найдем ее координаты вершины и фокуса, уравнение директрисы и оси симметрии. Первым шагом приведем уравнение к каноническому виду кривой. Для этого сгруппируем переменные следующим образом: x² - 8x - 16y + 32 = 0. Перенесем свободный член на другую сторону уравнения: x² - 8x = 16y - 32. Затем завершим квадрат, добавив к обеим частям уравнения квадрат половины коэффициента при x, т.е. в данном случае 16: x² - 8x + 16 = 16y - 16. Отдельно раскроем квадрат в левой части уравнения: (x - 4)² = 16y - 16. Теперь перегруппируем переменные: 16y = (x - 4)² + 16. Делитель 16 в левой части уравнения можно разделить на обе части: y= (x - 4)²/ 16 + 1. У нас хорошее квадратное уравнение, и мы можем выделить вершину кривой по формуле x = -b/2a. В нашем случае a = 1/16 и b = -4: x = -(-4) / (2*1/16) = 4 / (2/16) = 4 / (1/8) = 4 * (8/1) = 32. Таким образом, координата x вершины равна 32. Для оценки значения y подставим x = 32 в уравнение кривой: y = (32 - 4)²/ 16 + 1 = 28² / 16 + 1 = 784 / 16 + 1 = 49 + 1 = 50. Таким образом, координата y вершины равна 50. Теперь найдем координаты фокуса кривой. В общем случае фокус находится справа от вершины и находится от нее на расстоянии равном 1/4*a. В нашем случае это будет: 1/4 * 1/16 = 1/64. Таким образом, фокус находится на расстоянии 1/64 от вершины вправо. Прибавим это значение к координате x вершины: 32 + 1/64 = 32 + 0.015625 = 32.015625. Таким образом, координата x фокуса равна 32.015625. Аналогично мы можем найти координату y фокуса, подставив x фокуса в уравнение кривой: y = (x - 4)²/ 16 + 1 = (32.015625 - 4)²/ 16 + 1 = 28.015625² / 16 + 1 = 46.858856201171875 + 1 = 47.858856201171875. Таким образом, координата y фокуса равна 47.858856201171875. Чтобы найти уравнение директрисы, нужно найти координату x директрисы. Она находится слева от вершины и находится от нее на расстоянии равном 1/4*a. В нашем случае это будет: -1/4 * 1/16 = -1/64. Таким образом, координата x директрисы равна 32 - 1/64 = 32 - 0.015625 = 31.984375. Аналогично мы можем найти координату y директрисы, подставив x директрисы в уравнение кривой: y = (x - 4)²/ 16 + 1 = (31.984375 - 4)²/ 16 + 1 = 27.984375² / 16 + 1 = 46.78128433227539 + 1 = 47.78128433227539. Таким образом, координата y директрисы равна 47.78128433227539. Для нахождения оси симметрии кривой, нужно просто найти координату x вершины. В нашем случае это 32. Таким образом, ось симметрии кривой задается уравнением x = 32. Итак, координаты вершины кривой равны (32, 50), координаты фокуса равны (32.015625, 47.858856201171875), уравнение директрисы – y = 47.78128433227539 и уравнение оси симметрии – x = 32.