Для решения данной системы уравнений мы можем воспользоваться методом сложения/вычитания уравнений. Для начала, давайте рассмотрим первые два уравнения:
x^2 + xy + y^2 = 1 ...................(1)
y^2 + yz + z^2 = 3 ...................(2)
Давайте умножим уравнение (1) на 3 и уравнение (2) на 1, чтобы получить одинаковый коэффициент при y^2:
3(x^2 + xy + y^2) = 3(1)
y^2 + yz + z^2 = 3
Упрощая, получим:
3x^2 + 3xy + 3y^2 = 3 ...................(3)
y^2 + yz + z^2 = 3 ...................(4)
Теперь вычтем уравнение (4) из уравнения (3):
2x^2 + 2xy + 2z^2 - 2yz = 0 (5)
Аналогично, вычтем уравнение (1) из уравнения (2):
y^2 - x^2 + yz - xy = 2 (6)
Теперь выразим x^2 из уравнения (6) и подставим в уравнение (5):
(x^2 + xy + y^2) + y^2 - yz + 2yz - 2xy = 0
2y^2 + yz = xy
Подставим xy в уравнение (5) и упростим:
2x^2 + 2xy + 2z^2 - 2yz = 0
2x^2 + 2y^2 + 2z^2 = 2yz
Теперь получим четвертое уравнение, объединив два последних уравнения:
2y^2 + yz = 2yz (7)
Заметим, что условие x^2 + xy + y^2 = 1 можно переписать в виде:
x^2 + xy + y^2 - 1 = 0
Изучим это уравнение в качестве уравнения второй степени по переменной x:
x = (-y ± √(y^2-4(y^2-1))) / 2
Возможны два случая:
1. Уравнение имеет два различных корня:
x = (-y ± √(-3y^2 + 4)) / 2
Заметим, что для решения этого квадратного уравнения вещественные корни существуют только при -3y^2 + 4 ≥ 0, то есть y^2 ≤ 4/3. Это означает, что -2/√3 ≤ y ≤ 2/√3.
Вернемся к уравнению (7) и подставим полученные значения y:
2(y^2 + yz) = 2yz
2(y^2 + yz - yz) = 0
2y^2 = 0
Уравнение верно для любого значения y.
Следовательно, для этого случая возможны бесконечно много решений.
2. Уравнение имеет один корень (два совпадающих корня):
x = -y
Подставим это значение в уравнение (4):
(-y)^2 + (-y)z + z^2 = 3
y^2 - yz + z^2 = 3
Теперь добавим это уравнение к уравнению (1):
(x^2 + xy + y^2) + (y^2 - yz + z^2) = 1 + 3
x^2 + xy + 2y^2 + z^2 = 4
Сравним это уравнение с уравнением (5):
2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2yz = 0
Таким образом, уравнения (1), (2) и (4) эквивалентны, следовательно, их решение должно удовлетворять уравнению (5). Возвращаясь к уравнению (5), имеем:
2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2yz = 0
Подставим y = -x:
2x^2 + 2(-x)^2 + 2z^2 - 2(-x)(-x) = 0
2x^2 + 2x^2 + 2z^2 - 2x^2 = 0
4x^2 + 2z^2 = 0
x^2 + z^2 = 0
Это возможно только при x = z = 0.
Вернемся к уравнению (1):
x^2 + xy + y^2 = 1
Подставим x = z = 0:
y^2 = 1
y = ±1
Таким образом, получаем два набора решений: (x, y, z) = (0, 1, 0) и (x, y, z) = (0, -1, 0).
Теперь найдем значение (x + y + z)^2 для каждого набора решений:
1. Для (x, y, z) = (0, 1, 0):
(0 + 1 + 0)^2 = 1^2 = 1
2. Для (x, y, z) = (0, -1, 0):
(0 + (-1) + 0)^2 = (-1)^2 = 1
Таким образом, значение (x + y + z)^2 равно 1 для обоих наборов решений.
