Монотонность функции - это свойство функции сохранять порядок элементов между своими значениями. Функция считается монотонно возрастающей, если с увеличением значения аргумента ее значение также увеличивается, и монотонно убывающей, если с увеличением значения аргумента ее значение уменьшается. Для того чтобы показать монотонность функции, необходимо провести математические расчеты и исследовать поведение функции на заданном интервале или во всей области определения. Ниже приведу несколько примеров функций и их монотонности для наглядного понимания: 1. Функция возрастающая на интервале: f(x) = x^2. Для исследования монотонности данной функции необходимо вычислить производную от функции и определить ее знак. Производная функции f(x) = x^2 равна f'(x) = 2x. Значит, функция f(x) = x^2 является монотонно возрастающей на всей области определения, так как производная положительна для всех значений аргумента x. 2. Функция убывающая на интервале: f(x) = -2x + 5. Аналогично, исследуем производную этой функции. Производная f'(x) = -2. Знак производной постоянный и отрицательный, значит, функция f(x) = -2x + 5 является монотонно убывающей на всей области определения. 3. Функция монотонно возрастающая на интервале: f(x) = e^x. Функция f(x) = e^x имеет производную равной f'(x) = e^x. Производная положительна для всех значений аргумента x, значит, функция f(x) = e^x является монотонно возрастающей на всей области определения. 4. Функция монотонно убывающая на интервале: f(x) = 1/x. Для анализа монотонности данной функции необходимо исследовать ее производную f'(x) = -1/x^2. Знак производной зависит от значения аргумента x: производная положительна для x < 0, а отрицательна для x > 0. Значит, функция f(x) = 1/x является монотонно убывающей на интервале от (-∞, 0) и на интервале от (0, +∞). Это лишь несколько примеров функций и их монотонности. Для детального анализа функции на монотонность необходимо исследовать производную или использовать другие методы, такие как построение таблицы значений или графика функции. Также стоит отметить, что функция может быть одновременно монотонно возрастающей на одном интервале и монотонно убывающей на другом интервале, в зависимости от поведения ее производной или других свойств функции.