Дано уравнение поверхности в трехмерном пространстве: x^2 + y^2 + z^2 = 16. Требуется найти площадь сечения этой поверхности плоскостью y = 3. Для начала построим поверхность в трехмерном пространстве. Уравнение x^2 + y^2 + z^2 = 16 представляет собой семейство сфер радиусом 4, с центром в начале координат. Это означает, что все точки, удовлетворяющие этому уравнению, расположены на равном удалении от начала координат. Построим поверхность на плоскости xz: z | | | | | | | | | | +y | (0,4) (0,3) (0,2) (0,1) (0,0) (0,-1) (0,-2) (0,-3) (0,-4) __________________________ (4,0) (-4,0) | | | | | | | | | | | | | | |______________________________________________ x Теперь построим плоскость y = 3: z | | | | | +y | (0,4) (0,3) (0,2) (0,1) (0,0) (0,-1) (0,-2) (0,-3) (0,-4) _________________________ (4,0) (4,3) (4,2) (4,1) (4,0) (4,-1) (4,-2) (4,-3) (4,-4) | | | | | | | | | | | | | | | | |_______________________________x Теперь найдем точки, в которых эта плоскость пересекает поверхность x^2 + y^2 + z^2 = 16. Подставим y = 3 в уравнение поверхности: x^2 + 3^2 + z^2 = 16. Очевидно, что диапазон возможных значений x ограничен значениями, которые дают решение уравнения. Поэтому переберем возможные значения x: x^2 + 9 + z^2 = 16, x^2 + z^2 = 7. Выразим z через x: z = sqrt(7 - x^2), где sqrt - обозначение квадратного корня. Таким образом, получим плоскость пересечения следующего вида: z | | | | | | ________________________ кривые множества x^2 + z^2 = 7 ________________________ (x, 3) (x, -3) | | | | | | | | |________________________________x Теперь, чтобы найти площадь сечения между этой плоскостью и поверхностью x^2 + y^2 + z^2 = 16, нужно найти площадь закрашенной области на плоскости xz, ограниченной кривыми множествами x^2 + z^2 = 7. Кривыми множествами являются окружности с центром в начале координат и радиусом sqrt(7). Найдем угловые точки на этих окружностях, чтобы определить границы интервала интегрирования по переменной x. Для этого решим уравнение x^2 + z^2 = 7 относительно x: x = sqrt(7 - z^2), где sqrt - обозначение квадратного корня. Теперь найдем точки, в которых окружности пересекают плоскость y = 3: Для этого подставим y = 3 в уравнение поверхности x^2 + y^2 + z^2 = 16: x^2 + 3^2 + z^2 = 16, x^2 + z^2 = 7. Зная это, найдем z через x: z = sqrt(7 - x^2), где sqrt - обозначение квадратного корня. Таким образом, наше уравнение перейдет в следующий вид: x^2 + 7 - x^2 = 7, 7 = 7. Таким образом, окружности пересекают плоскость y = 3 во всех точках. Заметим, что поверхность x^2 + y^2 + z^2 = 16 симметрична относительно плоскости y = 0, поэтому площадь сечения между плоскостью y = 3 и поверхностью равна площади сечения между плоскостью y = -3 и поверхностью, то есть площади этих двух сечений равны. Теперь найдем площадь одного сечения: Для этого проинтегрируем функцию sqrt(7 - x^2) от -sqrt(7) до sqrt(7): A = 2∫[sqrt(7 - x^2)] dx, где ∫ обозначает интеграл. Произведем замену переменной: z = sqrt(7 - x^2): dz/dx = (-2x)/sqrt(7 - x^2), dx = dz/[(-2x)/sqrt(7 - x^2)]. Таким образом, наш интеграл примет следующий вид: A = 2∫(dz/[(-2x)/sqrt(7 - x^2)]), A = -∫sqrt(7 - x^2) dx. Теперь проинтегрируем по переменной x: A = -∫sqrt(7 - x^2) dx, A = ∫sqrt(7 - x^2) dx. Таким образом, нам нужно найти интеграл функции sqrt(7 - x^2). Используем метод замены переменной: пусть x = sqrt(7)sin(u), dx = sqrt(7)cos(u) du: A = ∫sqrt(7 - x^2) dx, A = ∫sqrt(7 - 7*sin^2(u)) sqrt(7) cos(u) du, A = 7∫cos^2(u) du, A = 7/2 ∫(1 + cos(2u)) du. Таким образом, нам нужно проинтегрировать константу, а также косинус двойного аргумента. Интегрируя константу и косинус двойного аргумента, получим: A = 7/2 (u + (1/2)sin(2u)), A = 7/2 (u + (1/2)sin(u)cos(u)). Вернемся к исходной переменной: x = sqrt(7)sin(u), cos(u) = sqrt(1 - sin^2(u)), A = 7/2 (u + (1/2)sin(u)cos(u)), A = 7/2 (u + (1/2)sin(u)sqrt(1 - sin^2(u))). Подставим нижний и верхний пределы интегрирования. В данном случае они равны -π/2 и π/2, соответственно. A = 7/2 (π/2 - (-π/2) + (1/2)sin(π/2)sqrt(1 - sin^2(π/2)) - (1/2)sin(-π/2)sqrt(1 - sin^2(-π/2))), A = 7/2 (π/2 + π/2 + (1/2)(1)(0) - (1/2)(-1)(0)), A = 7/2 (π + π), A = 7π. Получили, что площадь сечения между поверхностью x^2 + y^2 + z^2 = 16 и плоскостью y = 3 равна 7π.