Пусть N - задуманное число Пети. По условию, на доске выписаны все натуральные делители N, не равные 1. При этом два наименьших числа на доске различаются на 45.
Обозначим эти два наименьших числа через a и b, где a < b. Тогда условие можно записать уравнением:
b - a = 45
Поскольку a и b являются делителями N, они делят N без остатка. Это означает, что N делится на их разность (b - a) без остатка. В данном случае это число равно 45.
Таким образом, N делится на 45 без остатка.
Найдем все натуральные числа N, которые делятся на 45 без остатка.
Для этого рассмотрим все делители числа 45. Возможные значения делителя:
1, 3, 5, 9, 15, 45
Из них нужно отбросить 1, поскольку условие гласит, что делители не равны 1.
Таким образом, возможные значения числа N: 3, 5, 9, 15, 45.
Отметим, что число N должно быть меньше 1000. Проверим каждое из найденных значений:
- Для N = 3: Нет возможных делителей, разность которых равна 45.
- Для N = 5: Нет возможных делителей, разность которых равна 45.
- Для N = 9: Нет возможных делителей, разность которых равна 45.
- Для N = 15: Делители: 3, 5, 15. Наименьшие числа с разностью 45: 3 и 48. Верно!
- Для N = 45: Делители: 3, 5, 9, 15, 45. Наименьшие числа с разностью 45: 3 и 48. Верно!
Таким образом, возможные значения числа N: 15, 45.
