Пусть $N$ — составное натуральное число, которое мы ищем, и $D_i$ — его натуральные делители (за исключением 1), записанные в порядке возрастания. Заметим, что если их разность равна 45, то $N$ — это произведение трех чисел: $N=D_i{+}45=(D_i{+}5)(D_i{-}9)$. Переберем все натуральные числа $D_i$, которые можем выбрать на доске (упорядоченные по возрастанию). Если $D_i{+}5$ и $D_i{-}9$ — целые числа, то искомое $N$ будет равно $(D_i{+}5)(D_i{-}9)$. На первый взгляд может показаться, что нам придется перебирать очень много $D_i$, но на самом деле этого делать не нужно: 1. $D_i geq 45$. Иначе $D_i{-}9 leq 35$, а при $D_i leq 44$ это число будет меньше 1, и, следовательно, не будет являться делителем $N$. 2. $D_i < sqrt{1000} approx 31.6$. Если $D_i$ было больше, то $N > D_i{+}45 > 76$, что невозможно. Выпишем все возможные варианты $D_i$, и для каждого из них найдем соответствующее $N$: - Для $D_i = 45$ получаем $N = 50 cdot 36 = 1800$. - Для $D_i = 46$ получаем $N = 51 cdot 37 = 1887$. - Для $D_i = 47$ получаем $N = 52 cdot 38 = 1976$. - Для $D_i = 48$ получаем $N = 53 cdot 39 = 2067$. - Для $D_i = 49$ получаем $N = 54 cdot 40 = 2160$. Таким образом, существует 5 возможных значений для $N$: 1800, 1887, 1976, 2067 и 2160.