Петя задумал составное натуральное число N, которое меньше 1000. Известно, что Петя выписал на доску все натуральные делители числа N, не равные 1. Оказалось, что два наименьших числа на доске различаются на 39. Задача состоит в том, чтобы найти все возможные значения числа N. По определению, составное число - это число, которое имеет делители помимо 1 и самого себя. В данном случае, числа на доске являются делителями числа N, и они все отличны от 1. Давайте разберемся, какие числа можно выписать на доску, используя информацию о разнице между двумя наименьшими числами. Предположим, что два наименьших числа на доске обозначены как a и b. Из условия задачи, известно, что a - b = 39. Давайте проведем рассуждения для этих двух чисел. Так как a и b - делители числа N, то существует некое число k, для которого выполняется следующее условие: a * k = N. Аналогично, можно записать, что b * k = N. Из этих двух выражений можно заключить следующую информацию: N = a * k = b * k. Это означает, что число N является общим кратным чисел a и b. Обозначим это число как m, чтобы не путаться в обозначениях. Таким образом, мы получаем следующую систему уравнений: m = a * k; m = b * k. Возможные делители числа N можно записать как m, a и b. Теперь остается только найти все значения числа N, учитывая ограничение (N < 1000). Давайте посмотрим на возможные значения чисел a и b при данном условии a - b = 39. Используя систему уравнений, мы можем выразить k через a и b: k = m / a = m / b. Так как m является натуральным числом и m = a * k, то a должно быть делителем m, и наоборот. Теперь давайте рассмотрим все возможные значения числа N. Первая пара возможных значений a и b: a = 40, b = 1. В этом случае a - b = 40 - 1 = 39. Очевидно, что 40 является делителем числа 40, и, следовательно, является одним из делителей числа N. Другими словами, m должно быть кратно 40. Мы также знаем, что m < 1000. Поэтому можем составить следующее уравнение: 40 * k < 1000, где k - натуральное число. Решим это уравнение: k < 1000 / 40, k < 25. Таким образом, k может принимать значения от 1 до 24. Отсюда можно получить 24 возможных значений числа N для этого случая. Вторая пара возможных значений a и b: a = 39, b = 1. В этом случае a - b = 39 - 1 = 38. Аналогично, m должно быть кратно 39. Используя аналогичные рассуждения, мы можем заключить, что k может принимать значения от 1 до 25. В этом случае получим 25 возможных значений числа N. Таким образом, мы получили две группы возможных значений числа N: 1) Когда a = 40, b = 1, m будет кратным 40, а k принимает значения от 1 до 24. Это дает 24 возможных значения числа N. 2) Когда a = 39, b = 1, m будет кратным 39, а k принимает значения от 1 до 25. Это дает 25 возможных значений числа N. Всего мы получили 24 + 25 = 49 возможных значений числа N, удовлетворяющих условиям задачи. Поэтому, можно сделать вывод, что существует 49 возможных значений для числа N, если два наименьших числа на доске отличаются на 39.