Дан параллелограмм ABCD, в котором точка P является точкой пересечения его диагоналей. Из точки P проведены перпендикуляры к сторонам AB и AD, основания которых обозначены как точки X и Y соответственно. Также известно, что AX = 2, BX = 5 и AY = 1. Нужно найти DY². Для решения данной задачи воспользуемся свойствами параллелограмма и теоремой Пифагора. Свойства параллелограмма: 1. Противоположные стороны параллелограмма равны. 2. Диагонали параллелограмма делятся пополам. Исходя из первого свойства, имеем AB = CD и AD = BC. Из второго свойства, получим AP = CP и DP = BP. Обозначим длину стороны параллелограмма AB (равную стороне CD) как а. Тогда AX = AP + PX = AP + BX = AP + 5, так как BP = BX. Аналогично подставим вместо DY - DQ + QY = DP + QY = DP + AY = DP + 1. Теперь мы можем представить параллелограмм ABCD в виде двух прямоугольных треугольников - ABX и ADY. В треугольнике ABX применим теорему Пифагора: (AB)² = (AX)² + (BX)², а также подставим вместо AX и BX известные значения: a² = (2 + 5)², a² = 7², a² = 49. В треугольнике ADY также применим теорему Пифагора: (AD)² = (AY)² + (DY)², и подставим вместо AD и AY известные значения: a² = (1 + DY)², a² = 1 + 2DY + DY², DY² + 2DY = a² - 1. Так как мы знаем, что a² = 49, подставим это значение: DY² + 2DY = 49 - 1, DY² + 2DY = 48. Теперь нужно решить полученное уравнение второй степени относительно DY: DY² + 2DY - 48 = 0. Для решения данного квадратного уравнения воспользуемся формулой дискриминанта: D = b² - 4ac, где a = 1, b = 2 и c = -48. Вычисляем дискриминант: D = 2² - 4 * 1 * (-48), D = 4 + 192, D = 196. Так как дискриминант положительный, у уравнения существуют два действительных корня. Теперь находим сами корни: DY₁ = (-b + √D) / 2a, DY₁ = (-2 + √196) / 2 * 1, DY₁ = (-2 + 14) / 2, DY₁ = 12 / 2, DY₁ = 6. DY₂ = (-b - √D) / 2a, DY₂ = (-2 - √196) / 2 * 1, DY₂ = (-2 - 14) / 2, DY₂ = -16 / 2, DY₂ = -8. Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, отбрасываем второй корень DY₂ = -8 и выбираем корень DY₁ = 6. Таким образом, DY² = DY₁² = 6² = 36. Ответ: DY² = 36.