Для решения данной задачи воспользуемся геометрическим методом. Поставим сферу центром в начало координат и расположим точки A и B на поверхности сферы. Тогда векторы OA и OB, направленные из начала координат в точки A и B соответственно, будут ортогональными. Рассмотрим плоскость, проходящую через начало координат и точку A. Поскольку точка C выбирается случайным образом на поверхности сферы, плоскость, содержащая A и C, будет также случайно располагаться на поверхности сферы. Если плоскость не пересекает сферу, то угол ACB будет острый (меньше 90 градусов). Если плоскость пересекает сферу, то угол ACB может быть тупым или прямым (больше 90 градусов). Таким образом, задача сводится к определению того, что плоскость, проходящая через начало координат и точку A, пересекает сферу. Известно, что угол AOB равен 15 градусов. Раз угол AOB равен 15 градусов, то сфера с центром O и радиусом r пересекается плоскостью, проходящей через A, если определенный от начала координат кратчайший отрезок AO пересекает поверхность сферы. Пусть точка C случайно выбирается на поверхности сферы. Расстояние от начала координат до точки C можно задать векторным произведением векторов OA и OB. Тогда, если проекция вектора OC на вектор AB будет больше нуля, значит, плоскость, проходящая через начало координат и точку A, пересекает поверхность сферы, и угол ACB больше 90 градусов. Если проекция будет равна нулю или отрицательна, то угол ACB острый. Рассмотрим векторное произведение: OC = OA x OB = (OA * OB) * AB - (OA * AB) * OB По правилам векторного произведения OA x OB = |OA||OB|sin(θ) * n где θ - угол между векторами OA и OB, n - единичный вектор, перпендикулярный плоскости, образованной векторами OA и OB. Поскольку OA и OB - ортогональные векторы, то sin(θ) = 1, и OC = |OA||OB| * n Величина |OA||OB| равна произведению их длин: |OA||OB| = r * r = r^2, где r - радиус сферы. Таким образом, вектор OC можно записать как r^2 * n. Если проекция OC на вектор AB будет больше нуля, то это означает, что значение r^2 * n * AB будет положительным. Значит, плоскость, проходящая через начало координат и точку A, пересекает поверхность сферы, и угол ACB больше 90 градусов. Если проекция будет равна нулю или отрицательна, то угол ACB острый. Таким образом, задача сводится к определению того, какой знак имеет величина r^2 * n * AB. Поскольку точка C выбирается случайным образом на поверхности сферы, вектор AB также будет случайно выбираться из всех возможных направлений на поверхности сферы. Пусть единичный вектор n задается сферическими координатами (φ,θ), где φ - угол между осью Oz и вектором n, θ - угол между осью Ox и проекцией в плоскости Oxy (полярный угол). Тогда можно записать вектор AB как AB = (sin(φ)cos(θ), sin(φ)sin(θ), cos(φ)) Величина r^2 * n * AB равна r^2 * (sin(90° - φ)sin(θ)cos(φ) - cos(90° - φ)sin(φ)sin(θ)) = r^2 * sin(90° - φ)sin(θ)cos(φ) - sin(90° - φ)sin(φ)sin(θ) sin(90° - φ) = cos(φ) Подставим эту формулу в выражение для r^2 * n * AB r^2 * cos(φ)sin(θ)cos(φ) - cos(φ)sin(φ)sin(θ) = r^2 * cos^2(φ)sin(θ) - cos(φ)sin(φ)sin(θ) = r^2 * cos(φ)(cos(φ)sin(θ) - sin(θ)tan(φ)) = r^2 * cos(φ)sin(θ)(cos(φ) - tan(φ)) Таким образом, можно утверждать, что если cos(φ) - tan(φ) < 0 то угол ACB острый. Угол ACB острый в том случае, если единичный вектор n задан углами φ и θ, при которых выполняется условие cos(φ) - tan(φ) < 0. Для вычисления вероятности острого угла ACB, необходимо определить отношение области, где выполняется условие cos(φ) - tan(φ) < 0 к области всех возможных значений углов φ и θ. Рассмотрим область определения углов φ и θ. Угол φ может изменяться в пределах от 0 до 180 градусов, а угол θ может изменяться в пределах от 0 до 360 градусов. Таким образом, площадь всей области возможных значений углов φ и θ будет равна площади полусферы, занимаемой радиусом r и находящейся в пространстве. Площадь полусферы может быть вычислена следующим образом: S = 2π * r^2 Аналогичным образом можно вычислить площадь области, где выполняется условие cos(φ) - tan(φ) < 0. Поскольку в неравенстве присутствует два функциональных значения (cos(φ) и tan(φ)), которые могут быть сложными, нам следует использовать численные методы для оценки площади области, где выполняется это условие. Для определения вероятности острого угла ACB возьмем среднюю вероятность, рассчитанную из нескольких значений углов φ и θ. Воспользуемся методом Монте-Карло для получения статистической оценки вероятности. Метод Монте-Карло заключается в генерации случайных точек внутри рассматриваемой области и подсчете доли точек, удовлетворяющих нашим условиям. Чем больше точек будет сгенерировано, тем точнее будет оценка вероятности. Процесс будет состоять из следующих шагов: 1. Внутри области значений углов φ и θ генерируется большое количество случайных точек. 2. Для каждой точки определяются значения углов φ и θ. 3. Вычисляются значения cos(φ) - tan(φ) для каждой точки. 4. Считается количество точек, для которых выполняется условие cos(φ) - tan(φ) < 0. 5. Вычисляется отношение найденного числа точек к общему количеству точек. 6. Вычисленное значение отношения умножается на 100, чтобы получить процентную вероятность. Для достаточной точности вычисления следует сгенерировать не менее 10 000 случайных точек. Используя реализацию метода Монте-Карло, представленную ниже, можно вычислить вероятность острого угла ACB. Ответ будет выражен в процентах с точностью до двух знаков после запятой.

python

import math

import random



def probability_of_obtuse_angle(r, num_points):

    count = 0



    for _ in range(num_points):

        # Генерируем случайные значения углов phi и theta

        phi = random.uniform(0, math.pi)

        theta = random.uniform(0, 2 * math.pi)



        # Вычисляем значение cos(phi) - tan(phi)

        val = math.cos(phi) - math.tan(phi)



        # Проверяем условие и увеличиваем счетчик

        if val < 0:

            count += 1



    # Вычисляем отношение углов, удовлетворяющих условию, к общему числу точек

    ratio = count / num_points



    # Умножаем на 100, чтобы получить процентную вероятность

    probability = ratio * 100



    return round(probability, 2)



# Зададим радиус сферы и количество случайных точек

r = 1

num_points = 10000



# Вычислим вероятность острого угла ACB

probability = probability_of_obtuse_angle(r, num_points)



print(f"Вероятность острого угла ACB составляет {probability}%")

Таким образом, решение задачи сводится к использованию метода Монте-Карло для определения вероятности острого угла ACB. После проведения нескольких итераций вычислений, найденное значение вероятности будет являться ответом на задачу. Ответ: вероятность острого угла ACB составляет *найденное значение*%.